A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas.

A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. Pode-se obter a área de uma figura plana irregular ou obter o volume de um sólido com o formato de um barril.

O método da exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos.
O Caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do círculo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado.
Uma primeira aproximação para a área do círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo.
Com o acréscimo de quatro triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, cuja área fornece uma aproximação melhor à área do círculo.
Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos um polígono regular de 16 lados.
Geometricamente, é possível observar que já se tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que existem algumas áreas que não foram cobertas.
Continuamos a exaurir o círculo para obter aproximações cada vez melhores para a área do círculo, através de polígonos regulares inscritos de 2ⁿ lados.

Usando um procedimento similar a este, com polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a área do círculo de raio unitário mostrando que a área A (=Pi) está compreendida entre:

O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação. Por exemplo, para obter a área de uma região localizada sob um segmento de parábola ACB.

Arquimedes usou, como primeira aproximação, o triângulo ABC, onde C é escolhido de maneira que a reta tangente à parábola que passa por esse ponto C seja paralela à reta AB.

De modo semelhante são escolhidos os pontos D e E e construídos os triângulos ACD e BCE.

Na sequência foram construídos mais triângulos com as mesmas propriedades que os outros obtidos nos passos anteriores.

Observamos que tais triângulos estão exaurindo a área da região parabólica.

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada era da Ciência Moderna, que teve início com a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543).

O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo.

Estas idéias serão aqui expostas mas observamos que o conceito de integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma idéia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. Neste caso ocorre um problema usual em Matemática: quanto menos rigorosa ou formal é a conceituação de um objeto matemático, mais simples é a sua compreensão, porém é mais inadequada ou de conhecimento inatingível para um ser humano comum, em função das propriedades que decorrem do processo conceitual utilizado.

A idéia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram incompletos mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções.

Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastante acessível aos alunos de um curso de inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um curso desta natureza.

Nos cursos de Análise Matemática apresenta-se uma versão mais refinada, conhecida por Integral de Darboux-Riemann, usando os conceitos de soma inferior, soma superior, integral inferior e integral superior, que correspondem ao método de exaustão usando, respectivamente, polígonos inscritos e polígonos circunscritos.

Mas, para que ninguém alimente idéias equivocadas, observamos que as diversas definições da Integral de Riemann mencionadas são equivalentes e a diferença entre elas se situa na adequação das definições para a obtenção das propriedades da referida Integral.

Considerando que o objetivo deste material é focalizar muito mais as idéias do que uma análise rigorosa das propriedades da Integral de Riemann e considerando que nem todos os visitantes desta página, têm os requisitos de Análise para um enfoque mais rigoroso, apresentamos aqui também a versão mais simples, introduzida por Cauchy.

Uma partição de um intervalo [a,b] da reta real é um conjunto finito de pontos {x_o, x_1, ..., x_n} em R tal que

I_i=[x_i,x_i+1] é o i-ésimo subintervalo da partição. Dado um intervalo [a, b], podemos tomar uma partição muito particular, como aquela que toma pontos de modo que os subintervalos da partição tenham comprimentos iguais.

Cauchy adotou o seguinte procedimento para definir a integral de uma função real. Seja f:[a,b]-> R limitada e consideremos f uma função real não negativa, isto é f(x)>0 ou f(x)=0 para todo x em [a,b] e tomemos uma partição:

do intervalo [a,b] que tenha todos os n subintervalos com o mesmo comprimento dx=(b-a)/n.

Vamos tomar apenas os primeiros pontos da partição e fazer uma análise geométrica da curva no sub-intervalo [x_o,x₁]. Para os outros sub-intervalos ocorre uma situação similar.

A área sob a curva no intervalo [x_o,x₁] pode ser obtida através da área S₁ do retângulo cuja base mede dx=x₁-x_o e a altura é a linha tracejada cuja medida é dada por f(c₁) onde c₁ é um ponto em [x_o,x₁]. Observemos que existe uma compensação da área "branca" que fica acima da curva e dentro do retângulo com a área "branca" que fica abaixo da curva e fora do retângulo.

Em cada subintervalo I_i=[x_i,x_i+1] desta partição escolhemos um ponto genérico qualquer c_i e formamos n retângulos, todos com as bases de medida dx e alturas dadas por:

Se a partição tem n subintervalos, denotaremos por S_n a soma das áreas dos n retângulos:

	n
Sn= f(c1)dx + f(c2) dx + ... + f(cn)dx =		f(ci)dx
	i=1

Supondo que essas somas tenham sido calculadas para todos os valores de n, de modo a formar uma sequência:

Se esta sequência numérica (S_n) é convergente para um número real bem definido, diz-se que f é integrável no intervalo [a,b] e o valor do limite desta sequência é denotado por:

b		n
	f(x) dx = Lim Sn = Lim		f(ci)dx	(1)
a		i=1

sendo que os limites são tomados quando n-> infinito.

O símbolo é uma variação da letra grega (sigma) que representa a letra S maiúscula e sempre está associada a soma (somatório).

1. Devido ao importante trabalho de Riemann, já mencionado antes, a integral definida por (1) é chamada de Integral de Riemann e as somas

   	n
   Sn =		f(ci) dx
   	i=1

   são chamadas de somas de Riemann.

2. O processo de construção usado na definição da Integral de Riemann sugere que:

   b
   	f(x) dx
   a

   seja definido como a área da figura limitada pelo gráfico de f, pelo eixo OX e pelas retas x=a e x=b.

3. A existência e o valor do limite (1) deve ser independente da escolha dos pontos c₁, ..., c_n nos subintervalos de [a, b].
4. O limite (1) da sequência das somas S_n pode existir ou não. A existência ou não da integral de f, quando o domínio de integração é um intervalo limitado e fechado (compacto) [a,b], depende da regularidade da função f neste intervalo.

5. Determinar condições necessárias e suficientes para que uma função f tenha integral é uma questão muito delicada e requer conceitos que somente são abordados em um curso mais avançado de Análise Matemática. Para se ter uma idéia desta dificuldade lembramos que este problema só foi completamente resolvido no início do século XX, aproximadamente cem anos após os estudos realizados por Cauchy quando se tentava dar um tratamento rigoroso ao conceito de integral.

6. Para as nossas necessidades é suficiente saber que toda função contínua definida num intervalo limitado e fechado (compacto) é integrável e que toda função limitada definida num compacto [a, b] é integrável se o número de pontos de descontinuidade da função neste intervalo for finito.

7. Cauchy tomou uma partição muito particular do intervalo [a, b], subdividindo-o em partes iguais. Podemos retomar o processo de Cauchy tomando intervalos de partição [x_i, x_i+1] quaisquer, de comprimento dx_i=x_i+1-x_i. Neste caso as somas de Riemann S_n tomam a forma

   	n
   Sn = f(c1)dx1 + f(c2)dx2 + ... + f(cn)dxn =		f(ci) dxi
   	i=1

   Ao proceder desta forma temos que tomar uma precaução adicional. Não basta tomar o limite de S_n quando n->infinito, mas temos que acrescentar a condição que o maior dos comprimentos dx₁, ..., dx_n deve convergir para zero. Com isto em mente, temos a notação:

   b			n
   	f(x) dx =	Lim		f(ci)dxi
   a		|P| ->0	i=1

   onde |P| = max { dx₁, ..., dx_n } é a norma da partição P.

8. Inicialmente fizemos a suposição que f devesse ser positiva. Se f não é necessariamente positiva em [a,b], ainda assim a integral de f pode ser definida pelo mesmo procedimento anterior, sem qualquer problema, mas alguns cuidados devem ser tomados em relação à interpretação geométrica.
   

   Suponhamos que o gráfico de f seja como na figura ao lado. Levando em consideração a última observação, podemos formar as somas de Riemann da função f no intervalo [a, b] de modo a incluir um ponto c como um dos pontos da partição.

   Caso exista a integral de f sobre [a,b], verifica-se, que:

   b		c		b
   	f(x) dx =		f(x) dx +		f(x) dx	(2)
   a		a		c

   Esta propriedade será tratada mais à frente, mas observamos que a primeira integral do segundo membro de (2) é positiva, enquanto que a segunda integral do segundo membro é negativa. Desse modo a integral de f sobre o intervalo [a,b] será à diferença das áreas (que são valores positivos) assinaladas com os sinais (+) e (-). Para considerar este caso, a partição do intervalo [a,b] em subintervalos de comprimentos iguais já não é mais adequada.

   A definição de integral é abstrata e não é um instrumento adequado para calcular integrais. O cálculo de integrais geralmente é feito mediante o uso do Teorema Fundamental do Cálculo, que veremos adiante.

   Para melhor entender a definição de integral de uma função f num intervalo [a,b] apresentaremos um exemplo bastante comum.

   

   Exemplo: Calcular a área da figura delimitada pela parábola y=x², o eixo OX e as retas verticais x=0 e x=1.

   Inicialmente dividiremos o intervalo [0,1] em n partes iguais de comprimento dx = 1/n e tomaremos os pontos c_i como sendo os extremos esquerdos de cada i-ésimo intervalo, de forma que:

   c₁=0, c₂=dx, c₃=2 dx, ..., c_n=(n-1)dx

   Como f(x) = x² então escrevendo h=dx=1/n, teremos que:

   	n
   Sn =		f(ci) h	= [02 + h2 + (2h)2 + ... + ((n-1)h)2].h
   	i=1		= [12 + 22 + 32 + ... + (n-1)2] h3
   			= [12 + 22 + 32 + ... + (n-1)2] / n3
   			= [n3/3 - n2/2 +n/6] / n3
   			= 1/3 - 1/(2n) + 1/(6n2)

   Quando n->infinito, esta expressão se aproxima de 1/3, logo concluímos que

   1
   	x2 dx =	1/3
   0

A definição de integral é abstrata e tem pouco uso operacional. Em função disto, introduzimos mecanismos que facilitam certos cálculos e os principais são as propriedades das integrais.

Proposição: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então f+g é integrável no mesmo intervalo e além disso:

b		b		b
	(f+g)(x) dx =		f(x) dx +		g(x) dx
a		a		a

Proposição: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c uma constante qualquer, então a função cf é integrável e

b		b
	(c.f)(x) dx = c		f(x) dx
a		a

As duas proposições acima constituem as propriedades lineares da integral definida, sendo que as demonstrações das mesmas são relativamente simples, com o uso da definição de integral apresentada.

Proposição: Se f é uma função integrável nos intervalos [a,c] e [c,b], então f é integrável em [a,b] e além disso:

b		c		b
	f(x) dx =		f(x) dx +		f(x) dx
a		a		c

Esta última proposição representa a propriedade da aditividade da integral definida e pode ser demonstrada requerendo um pequeno artifício de incluir o ponto c entre os pontos da partição do intervalo [a,b].

Exercício: Tente demonstrar as proposições ou procure em um bom livro de Análise Matemática.

O nome Teorema Fundamental do Cálculo já diz sobre a importância do mesmo. Este teorema permite exprimir a integral de uma função em termos de uma outra função conhecida como primitiva e esta notável descoberta de Newton e Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da maioria das integrais que aparecem no cotidiano.

Um resultado preparatório será necessário para a demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo e ele é conhecido como o:

Teorema da Média: Seja f uma função contínua num intervalo [a, b]. Então existe um valor c nesse intervalo tal que

b
	f(x) dx = f(c) (b-a)
a

Demonstração: Relembramos que

b			n
	f(x) dx =	Lim		f(ci)dx
a		|P| ->0	i=1

onde c_ié um ponto qualquer do i-ésimo subintervalo de comprimento dx=(b-a)/n e o limite é tomado quando n->infinito.

Sejam m=min {f(x): x em [a,b]} e M=max {f(x): x em [a,b]}. Como f é contínua e o seu domínio é um intervalo fechado e limitado da reta, temos a garantia (pelo Teorema dos valores extremos de Weierstrass) que existem x=x_o e x=x₁ tal que:

Assim, para todo c_ido intervalo [a,b] tem-se que:

m f(c_i) M

donde segue que:

m dx f(c_i) dx M dx

n		n		n
	m dx		f(ci) dx		M dx
0		0		0

logo

	n
m (b-a)		f(ci) dx	M (b-a)
	0

Tomando o limite com n->infinito de todas as três expressões nas desigualdades, teremos:

	b
m (b-a)		f(x) dx	M (b-a)
	a

		b
m	1/(b-a)		f(x) dx	M
		a

Portanto, o termo do meio dessas desigualdades está entre f(x_o) e f(x₁) e pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos concluir que existe c em [a,b] tal que

	1	b
f(c) =	-----		f(x) dx
	b-a	a

o que completa a demonstração do Teorema da média.

Uma primitiva para uma função f=f(x) é uma outra função F=F(x) cuja derivada coincide com f, isto é:

Existem várias primitivas para uma mesma função f.

Exemplos: Algumas primitivas para f(x)=x², são:

• F₁(x) = (1/3) x³
• F₂(x) = (1/3) x³ + 1
• F₃(x) = (1/3) x³ + C

porque as derivadas destas funções coincidem com f(x)=x².

Observamos que a constante C da última primitiva é tão geral, que na verdade poderia assumir qualquer valor numérico. Assim, uma primitiva geral para f(x)=x², teria a forma:

onde o número C é uma constante arbitrária e x em Dom(f).

Observação: Se F=F(x) e G=G(x) são primitivas para uma função f, então para todo x no domínio da função f, existe uma constante C_o tal que:

Isto significa geometricamente, que o gráfico de uma primitiva é a translação vertical do gráfico da outra primitiva no plano cartesiano. Se traçarmos segmentos de retas verticais entre as curvas y=F(x) e y=G(x), estes terão sempre a mesma medida C_o.

Define-se a integral indefinida de uma função real f, como uma primitiva de f:

	f(x) dx	= F(x) + C

para todo x em Dom(f), sendo que o símbolo de integral é o mesmo já usado antes que teve origem como uma variação da letra grega sigma comumente usada para somas.

Exemplo: A integral indefinida funciona como uma espécie de inversa para a derivada. Por exemplo, se f(x)=x², então:

	x2 dx =	(1/3) x3 + C

		xn+1
	xn dx =	-----	+ C
		n+1

pois a derivada da função f(x)=xⁿ⁺¹/(n+1) é igual à função g(x)=xⁿ. É Fundamental aqui que n seja diferente de -1.

Como a derivada da função f(x)=Ln(x) é a função g(x)=1/x, então:

	(1/x) dx = Ln(x) + C

Como a derivada de f(x)=e^x é a própria função f(x)=e^x, então:

	ex dx = ex + C

Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?

Como:

P(x)=		P'(x) dx =		(117 + 200x) dx = 117x + 100x2+C

assim, podemos obter o valor de C pois P(0)=10.000. Realmente:

logo

e daqui há 5 anos:

Agora podemos demonstrar o teorema mais importante do Cálculo Diferencial e Integral. Nós o faremos em duas versões e posteriormente mostraremos que ambas são equivalentes.

Teorema Fundamental do Cálculo (1a.versão): Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e seja F a função definida por

	x
F(x) =		f(t) dt
	a

Então, F é derivável em todos os pontos internos a esse intervalo e

4CENTER> F'(x) =f(x)

Demonstração: Dando um acréscimo h à variável x, poderemos escrever:

	x+h		x		x+h		x+h
F(x+h) =		f(t) dt =		f(t) dt +		f(t) dt = F(x) +		f(t) dt
	a		a		x		x

Pelo teorema da média, existe um valor c entre x e x+h, tal que

x+h
	f(x) dx = f(c) h
x

Das duas últimas expressões, obtemos para x < c < x+h, que:

Dividindo ambos os membros por h e fazendo h tender a 0, teremos a definição de derivada da função F=F(x). O cálculo deste limite garante que c tenderá a x e pela continuidade de f, f(c) tenderá a f(x), logo:

	x
F(x) =		f(t) dt
	a

é uma primitiva para a função f.

Teorema Fundamental do Cálculo (2a.versão) : Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e G uma primitiva de f, então,

b
	f(x)dx = G(b) - G(a) (3)
a

Equivalência entre as duas versões: Vamos supor que a 2a.versão seja válida e vamos substituir em (3) a variável b por x. Assim,

 

x
	f(x)dx = G(x) - G(a) (4)
a

Como por hipótese, G é derivável com derivada f, então o primeiro membro de (4) também é derivável tendo a mesma derivada f, assim a 2a.versão implica na 1a.versão.

Reciprocamente, vamos admitir que a 1a.versão seja válida, isto é, que:

	x
F(x) =		f(t) dt
	a

seja uma primitiva para f. Se G for outra primitiva de f, então

logo

	x
G(x) = K +		f(t) dt
	a

é a expressão mais geral de uma primitiva para f e como a integral de t=a até t=a é nula, segue que

o que garante que:

	x
G(x) = G(a) +		f(t) dt
	a

Tomando x = b nesta última expressão, obtemos:

	b
G(b) -G(a) =		f(t) dt
	a

Exemplo 1: Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos refazer o cálculo da área da figura delimitada pela parábola y=x², o eixo OX e as retas x=0 e x=1. Uma primitiva para f(x)=x² é a função G(x)=(1/3)x³ e pelo Teorema Fundamental do cálculo, temos que:

1
	x2 dx = G(1) - G(0) = 1/3
0

Exemplo 2: Calcular a área da região limitada pela parábola y = x² e a reta y = 3-2x.

	1		1
Área =		(3 - 2x) dx -		x2 dx = 32/3
	-3		-3

Um certo estudo indica que, daqui a x anos, a população de uma cidade crescerá à taxa de 117 + 200x pessoas por ano. Qual será o aumento populacional da cidade nos próximos 10 anos?

Solução: Seja P=P(x) a população daqui a x anos, então:

Uma primitiva para P'(x) é dada por G(x)=117x + 100x², logo o aumento populacional nos próximos 10 anos será dado por

	10
P(10) - P(0) =		(117 + 200x) dx = G(10) - G(0) = 11170
	0

Observação: Para o cálculo de uma integral mediante o uso do Teorema Fundamental do Cálculo, necessitamos conhecer uma primitiva para a função envolvida. Obter uma primitiva de uma função nem sempre é um problema simples de ser resolvido e algumas vezes é impossível, como é o caso das integrais elípticas, que aparecem naturalmente quando se deseja calcular o comprimento do arco de uma elipse através de integrais.

Descobrir uma primitiva de uma função pode envolver técnicas bastante sofisticadas, que são desenvolvidas nos cursos de Cálculo e Análise Matemática. Nosso objetivo aqui não é desenvolver estas técnicas de integração. Estamos mais interessados na compreensão do conceito de integral e de suas consequências.

Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções. Para obter a integral da forma:

	f(u(x)) u'(x) dx

	f(u) du

e na sequência substituir u por u(x) na resposta obtida.

Exemplos:

• Na integral abaixo substituiremos u=x²+3x.

  	(x2+3x).(2x+3) dx =		u du = (1/2) u2 + C = (1/2) (x2+3x)2 + C

• Na integral abaixo substituiremos u=x²+1.

  	5x/(x2+1) dx = (5/2)		2x/(x2+1) dx = (5/2)		du/u = (5/2) Ln(u) + C

• Na integral abaixo substituiremos u=x+1.

  	x/(x+1) dx =		(u-1)/u du =		du -		du/u = u - Ln(u) + C

Observação: Para trabalhar com o método de integração por substituição há a necessidade de fazer uso de bastante criatividade, percepção e muitos exercícios!

Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G'(x)=g(x), então:

	f(x) g(x) dx = f(x) G(x) -		f '(x) G(x) dx

Pela derivada do produto de duas funções, segue que:

ou seja

e integrando os os membros desta última igualdade, seguirá:

	(f(x) G(x))' dx =		[f '(x) G(x) + f(x) g(x)] dx

f(x) G(x) =		[f '(x) G(x) + f(x) g(x)] dx

f(x) G(x) =		f '(x) G(x) dx +		f(x) g(x) dx

donde segue o resultado.

Exemplo: Para calcular x.Ln(x) dx, pode-se tomar: g(x) = x e f(x)=Ln(x). Assim, uma primitiva para g=g(x) é a função G(x) = (1/2) x² e f '(x) = 1/x.

A fórmula de integração por partes, nos informa que:

	f(x) g(x) dx = f(x) G(x) -		f '(x) G(x) dx

Substituindo as funções acima definidas, teremos:

	x Ln(x) dx = Ln(x).(1/2)x2 -		(1/x) x dx

	x Ln(x) dx = (1/2).x2.Ln(x) - x + C

A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.

Exercício: Calcular as integrais abaixo pelo uso sucessivo do método de integração por partes.

E1 =		x ex dx
E2 =		x2 ex dx
E3 =		x3 ex dx
En =		xn ex dx