Matematica Essencial: Maximos e Minimos de funcoes Máximos e Mínimos: Conceitos básicos Roteiro geral Conceitos básicos Teste da primeira derivada Teste da segunda derivada Médias: Arit-Geom-Harm Aplicações numéricas Aplicações geométricas Aplicações práticas Derivada Implícita Vizinhança de um ponto Uma vizinhança aberta de um ponto x=c é um intervalo aberto da forma Vc=(c-r1,c+r2) onde r1>0 e r2>0 são números reais pequenos. Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto x=c, é construir um intervalo simétrico centrado em x=c e com raio r, denotado por Vc=(c-r,c+r) onde r>0 é pequeno, dependendo da forma como as distâncias são medidas. A distância entre os números reais x e y será tomada aqui como d(x,y)=|x-y|. Em estudos mais avançados, existem muitas outras formas de medir distâncias, mas aqui vamos considerar a forma citada acima. Exemplo: Os intervalos A=(-0.2,0.1) e B=(-0.01,0.01) são vizinhanças abertas de x=0, mas C=(0,0.1) não é uma vizinhança aberta de x=0 pois 0 não pertence a C. Ponto interior de um conjunto Um ponto x=c é denominado ponto interior de um conjunto S, se existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente contida no conjunto S. Exemplo: x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8), mas não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C. Interior de um conjunto O interior de um conjunto S é a coleção de todos os pontos de S para os quais podemos construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto S. Exemplo: (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b). Máximo (global) de uma função Seja f uma função definida sobre um conjunto S. O valor máximo (máximo global) para f sobre o conjunto S, é um número real M, denotado por Isto é, para todo x em S, temos que f(x) < M e além disso, existe um ponto c em S tal que f(c)=M. O ponto x=c é o ponto de máximo (global) e M é o valor máximo para f sobre o conjunto S. Exemplo: f(x)=1-x2, definida sobre S=[-1,1] possui um ponto de máximo global em x=0 e o valor máximo de f sobre S é f(0)=1. Máximo local (relativo) de uma função Seja f uma função definida sobre um conjunto S. Uma função f possui um ponto de máximo local (relativo) sobre o conjunto S, se existe um ponto c em S, existe uma vizinhança aberta Vc contida em S e existe um número real Mc tal que Isto significa que, para todo x na vizinhança Vc , temos que f(x) < Mc. Um máximo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um máximo global para f sobre S. Dentre todos os pontos de máximo local, um ou mais, poderão ser pontos de máximo (global). Exemplo: f(x)=x2, def. sobre [-1,2], possui dois pontos de máximo local, x=-1 e x=2, mas o ponto x=2 é um ponto de máximo para f. Mínimo (global) de uma função Seja f uma função definida sobre um conjunto S. O valor mínimo (mínimo global) para f sobre o conjunto S, é um número real m, denotado por significando que, para todo x em S, temos que m < f(x) e além disso, existe um ponto d em S tal que f(d)=m. O ponto x=d é ponto de mínimo (global) e m é o valor mínimo para f sobre o conjunto S. Exemplo: f(x)=1-x2, def. sobre S=[-1,1] possui dois pontos de mínimo global, x=-1 e x=1 e o valor mínimo global de f sobre S é f(-1)=f(1)=0. Mínimo local (relativo) de uma função Seja f uma função definida sobre um conjunto S. Uma função f possui um ponto de mínimo local (relativo) sobre o conjunto S, se existe um ponto d em S, existe uma vizinhança aberta Vd contida em S e existe um número real md tal que Para todo x na vizinhança Vd, temos que f(x)>md. Um mínimo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um mínimo global para f sobre S. Dentre os pontos de mínimo local, um ou mais, poderão ser pontos de mínimo. Exemplo: f(x)=1-x2, def. sobre [-1,2] possui dois pontos de mínimo local, x=-1 e x=2, mas o ponto x=2 é também um ponto de mínimo global para f. Observações gerais sobre máximos e mínimos Uma função poderá ter vários pontos de máximo ou pontos de mínimo sobre o seu domínio. Exemplo: f(x)=sen(x) def. sobre o intervalo [-4pi,4pi]. Uma função poderá não ter pontos de máximo nem pontos de mínimo sobre o seu domínio. Exemplo: f(x)=x def. sobre (-1,2). Os extremos só poderiam ocorrer nas extremidades do intervalo (-1,2), x=-1 ou x=2, mas tais pontos não pertencem ao domínio de f. Uma função poderá ter infinitos pontos de máximo e também infinitos pontos de mínimo sobre o seu domínio. Exemplo: f(x)=3 definida sobre o intervalo [-1,1]. Outro exemplo é a função f(x)=sen(x) def. sobre a reta real. Os valores máximo e mínimo de uma função, são denominados extremos da função e os pontos de máximo e de mínimo da função, são denominados pontos de extremos da função. Não confundir extremo da função com extremidade do intervalo de definição da função. Página construída por Ulysses Sodré Parcialmente traduzida do LaTeX pelo HEVEA
Vizinhança de um ponto Uma vizinhança aberta de um ponto x=c é um intervalo aberto da forma Vc=(c-r1,c+r2) onde r1>0 e r2>0 são números reais pequenos. Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto x=c, é construir um intervalo simétrico centrado em x=c e com raio r, denotado por Vc=(c-r,c+r) onde r>0 é pequeno, dependendo da forma como as distâncias são medidas. A distância entre os números reais x e y será tomada aqui como d(x,y)=|x-y|. Em estudos mais avançados, existem muitas outras formas de medir distâncias, mas aqui vamos considerar a forma citada acima. Exemplo: Os intervalos A=(-0.2,0.1) e B=(-0.01,0.01) são vizinhanças abertas de x=0, mas C=(0,0.1) não é uma vizinhança aberta de x=0 pois 0 não pertence a C. Ponto interior de um conjunto Um ponto x=c é denominado ponto interior de um conjunto S, se existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente contida no conjunto S. Exemplo: x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8), mas não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C. Interior de um conjunto O interior de um conjunto S é a coleção de todos os pontos de S para os quais podemos construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto S. Exemplo: (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b). Máximo (global) de uma função Seja f uma função definida sobre um conjunto S. O valor máximo (máximo global) para f sobre o conjunto S, é um número real M, denotado por Isto é, para todo x em S, temos que f(x) < M e além disso, existe um ponto c em S tal que f(c)=M. O ponto x=c é o ponto de máximo (global) e M é o valor máximo para f sobre o conjunto S. Exemplo: f(x)=1-x2, definida sobre S=[-1,1] possui um ponto de máximo global em x=0 e o valor máximo de f sobre S é f(0)=1. Máximo local (relativo) de uma função Seja f uma função definida sobre um conjunto S. Uma função f possui um ponto de máximo local (relativo) sobre o conjunto S, se existe um ponto c em S, existe uma vizinhança aberta Vc contida em S e existe um número real Mc tal que Isto significa que, para todo x na vizinhança Vc , temos que f(x) < Mc. Um máximo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um máximo global para f sobre S. Dentre todos os pontos de máximo local, um ou mais, poderão ser pontos de máximo (global). Exemplo: f(x)=x2, def. sobre [-1,2], possui dois pontos de máximo local, x=-1 e x=2, mas o ponto x=2 é um ponto de máximo para f. Mínimo (global) de uma função Seja f uma função definida sobre um conjunto S. O valor mínimo (mínimo global) para f sobre o conjunto S, é um número real m, denotado por significando que, para todo x em S, temos que m < f(x) e além disso, existe um ponto d em S tal que f(d)=m. O ponto x=d é ponto de mínimo (global) e m é o valor mínimo para f sobre o conjunto S. Exemplo: f(x)=1-x2, def. sobre S=[-1,1] possui dois pontos de mínimo global, x=-1 e x=1 e o valor mínimo global de f sobre S é f(-1)=f(1)=0. Mínimo local (relativo) de uma função Seja f uma função definida sobre um conjunto S. Uma função f possui um ponto de mínimo local (relativo) sobre o conjunto S, se existe um ponto d em S, existe uma vizinhança aberta Vd contida em S e existe um número real md tal que Para todo x na vizinhança Vd, temos que f(x)>md. Um mínimo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um mínimo global para f sobre S. Dentre os pontos de mínimo local, um ou mais, poderão ser pontos de mínimo. Exemplo: f(x)=1-x2, def. sobre [-1,2] possui dois pontos de mínimo local, x=-1 e x=2, mas o ponto x=2 é também um ponto de mínimo global para f. Observações gerais sobre máximos e mínimos Uma função poderá ter vários pontos de máximo ou pontos de mínimo sobre o seu domínio. Exemplo: f(x)=sen(x) def. sobre o intervalo [-4pi,4pi]. Uma função poderá não ter pontos de máximo nem pontos de mínimo sobre o seu domínio. Exemplo: f(x)=x def. sobre (-1,2). Os extremos só poderiam ocorrer nas extremidades do intervalo (-1,2), x=-1 ou x=2, mas tais pontos não pertencem ao domínio de f. Uma função poderá ter infinitos pontos de máximo e também infinitos pontos de mínimo sobre o seu domínio. Exemplo: f(x)=3 definida sobre o intervalo [-1,1]. Outro exemplo é a função f(x)=sen(x) def. sobre a reta real. Os valores máximo e mínimo de uma função, são denominados extremos da função e os pontos de máximo e de mínimo da função, são denominados pontos de extremos da função. Não confundir extremo da função com extremidade do intervalo de definição da função.
Exemplo: Os intervalos A=(-0.2,0.1) e B=(-0.01,0.01) são vizinhanças abertas de x=0, mas C=(0,0.1) não é uma vizinhança aberta de x=0 pois 0 não pertence a C.
Exemplo: x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8), mas não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C.
Exemplo: (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b).
Isto é, para todo x em S, temos que f(x) < M e além disso, existe um ponto c em S tal que f(c)=M. O ponto x=c é o ponto de máximo (global) e M é o valor máximo para f sobre o conjunto S.
Exemplo: f(x)=1-x2, definida sobre S=[-1,1] possui um ponto de máximo global em x=0 e o valor máximo de f sobre S é f(0)=1.
Isto significa que, para todo x na vizinhança Vc , temos que f(x) < Mc. Um máximo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um máximo global para f sobre S. Dentre todos os pontos de máximo local, um ou mais, poderão ser pontos de máximo (global).
Exemplo: f(x)=x2, def. sobre [-1,2], possui dois pontos de máximo local, x=-1 e x=2, mas o ponto x=2 é um ponto de máximo para f.
significando que, para todo x em S, temos que m < f(x) e além disso, existe um ponto d em S tal que f(d)=m. O ponto x=d é ponto de mínimo (global) e m é o valor mínimo para f sobre o conjunto S.
Exemplo: f(x)=1-x2, def. sobre S=[-1,1] possui dois pontos de mínimo global, x=-1 e x=1 e o valor mínimo global de f sobre S é f(-1)=f(1)=0.
Para todo x na vizinhança Vd, temos que f(x)>md. Um mínimo local para uma função f definida sobre um conjunto S, poderá ser também um mínimo global para f sobre S. Dentre os pontos de mínimo local, um ou mais, poderão ser pontos de mínimo.
Exemplo: f(x)=1-x2, def. sobre [-1,2] possui dois pontos de mínimo local, x=-1 e x=2, mas o ponto x=2 é também um ponto de mínimo global para f.
Exemplo: f(x)=sen(x) def. sobre o intervalo [-4pi,4pi].
Exemplo: f(x)=x def. sobre (-1,2). Os extremos só poderiam ocorrer nas extremidades do intervalo (-1,2), x=-1 ou x=2, mas tais pontos não pertencem ao domínio de f.
Exemplo: f(x)=3 definida sobre o intervalo [-1,1]. Outro exemplo é a função f(x)=sen(x) def. sobre a reta real.