Máximos e Mínimos: Médias Arit-Geom-Harm
Roteiro geral	Conceitos básicos	Teste da primeira derivada
Teste da segunda derivada	Médias: Arit-Geom-Harm	Aplicações numéricas
Aplicações geométricas	Aplicações práticas	Derivada Implícita

1. Média aritmética
   A média aritmética entre dois números reais positivos x e y, é definida como:

   
   

2. Média geométrica
   A média geométrica entre x e y, é definida como a raiz quadrada do produto de x por y, isto é:

   
   

3. Média harmônica
   A média harmônica entre x e y, é definida por:

4. Desigualdades com as médias
   Valem as seguintes desigualdades:

   
   sendo que a igualdade ocorre quando x=y.

   Prova que g(x,y)<a(x,y): Dados x>0 e y>0, temos que (x-y)²³ 0, ou seja

   
   Somando 4xy a ambos os membros, teremos:

   
   que equivale a

   
   isto é

   
   Como a função raiz quadrada f(x)=R[x] definida sobre [0,¥) é crescente, podemos extrair a raiz quadrada em ambos os membros dessa desigualdade, para obter:

   Prova que h(x,y) < g(x,y): Já mostramos antes que para x>0 e y>0, temos que

   
   Multiplicando ambos os membros da desigualdade por xy, obtemos

   
   ou seja

   
   Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros dessa desigualdade, vem:

   O que significa que

   
   É fácil ver que se x=y, então

5. Médias e Extremos de funções
   Qual é a relação existente entre as médias, definidas acima, com os conceitos de máximo e mínimo de funções envolvendo duas variáveis?

   Olhando com um pouco de atenção para as expressões das desigualdades:

   
   observaremos que o membro mais à esquerda possui um produto e uma soma, o membro do meio possui apenas um produto e o membro mais à direita possui uma soma envolvendo as variáveis x e y.

   A média harmônica, do ponto de vista matemático, estabelece a média das ações de vários indivíduos, desenvolvidas quando ocorre a colaboração de uma ação com as outras. Sugiro que veja um link específico que construí para mostrar a importância desse tipo de conceito, o qual tem sido tratado com desleixo por parte de vários professores da área de Matemática. Acredito que muitos desconhecem tal conceito.
   A média geométrica oferece o maior produto possível entre duas medidas dadas. É bastante usada em construções geométricas.
   A média aritmética é uma tentativa de minimizar as relações entre duas medidas, não tendo muita utilidade prática, a não ser em situações onde existe uma grande quantidade de objetos a medir e se faz necessário escolher uma amostra para tratar do assunto. Você já imaginou uma situação em que o seu salário é R$10.000,00 e o salário de seu amigo é R$2.000,00 e alguém afirma que a média salarial de vocês dois é R$6.000,00. Pense um pouco!

   Vamos nos limitar a analisar a última desigualdade:

   
   Esta desigualdade garante uma certa dualidade entre o produto e a soma de duas medidas. A expressão da esquerda está limitada superiormente pela expressão da direita. Isto significa que a expressão da esquerda assumirá um máximo quando ocorrer a igualdade com a expressão da direita, ao mesmo tempo que, a expressão da direita assumirá um mínimo quando ocorrer a igualdade com a expressão da esquerda. Concluímos então, que:

   1. Dentre todos os produtos de x por y, o produto máximo ocorre quando x=y=R[P], isto é, P=x².
   2. Dentre todos as somas de x e y, a soma mínima assumida quando x=y=m/2, isto é, m=2x.
   
   Exemplo: Sem fazer uso de derivadas, podemos obter extremos (máximos e mínimos) de funções de várias variáveis, apenas usando as desigualdades com as médias.
   
   1. Qual é o produto máximo entre dois números, sabendo-se que a soma desses números positivos é 12?
      Se x+y=12, então a(x,y)=6. A média geométrica satisfaz à desigualdade:

      
      O máximo acontece com xy=36, quando x=y=6.

   2. O produto de dois números positivos é 64. Qual é a menor soma desses dois números?
      Tomando x.y=64, então g(x,y)=R[64]=8. A média aritmética satisfaz à desigualdade:

      
      O mínimo acontece com x+y=16, quando x=y=8.