Matematica Essencial: Maximos e Minimos de funcoes Máximos e Mínimos: Aplicações numéricas Roteiro geral Conceitos básicos Teste da primeira derivada Teste da segunda derivada Médias: Arit-Geom-Harm Aplicações numéricas Aplicações geométricas Aplicações práticas Derivada Implícita Nesta página, a notação R[x] representa a função raiz quadrada de x>0. Determinar números positivos x e y, cujo produto seja igual a 12 mas cuja soma seja a menor possível. Solução: Considere x.y=12 e S(x,y) = x + y. Substitua o valor de y na função S=S(x,y), para ter apenas uma variável na função, dada por: sobre o intervalo [1,12] e a sua derivada é dada por: Os pontos críticos são x=2.R[3] em [1,12] e x=-2.R[3]. Este último, não serve aos nossos propósitos. O valor mínimo de S é S(2.R[3]) = 4.R[3]. Determinar números positivos x e y, cujo produto seja igual a P mas cuja soma seja a menor possível. Dica: Repetir o exercício anterior com P no lugar de 12. Determinar números inteiros não negativos x e y, cujo produto seja máximo mas cuja soma seja igual a 12. Solução: x+y=12, P(x)=x.y= x(12-x)=12x-x2 Usando um processo simples, podemos decompor o número 12, em: P=P(x)=x(12-x) representa uma parábola que passa pelos pontos (0,0), (12,0) e (6,36) e tem a concavidade (boca) voltada para baixo. P(6)=36 é o valor máximo para o produto e x=y=6 é a resposta procurada. Derivando P(x)=12x-x2 obtemos P '(x)=12-2x. O ponto crítico é x=6, P"(6)=-2<0, logo, P(6)=36 é o valor máximo para o produto P. Determinar números inteiros não negativos x e y, cujo produto seja máximo mas cuja soma seja igual a S. Dica: Repetir o exercício anterior com S no lugar de 12. Se x, y e z são três números reais positivos, mostrar que a média harmônica é dominada pela média geométrica, que por sua vez é dominada pela média aritmética, isto é: Se x1, x2, ..., xn são n números reais positivos, mostrar que: Página construída por Ulysses Sodré Parcialmente traduzida do LaTeX pelo HEVEA [matweb/superior/maxmin/inclusao_dasecretaria.htm]
Determinar números positivos x e y, cujo produto seja igual a 12 mas cuja soma seja a menor possível. Solução: Considere x.y=12 e S(x,y) = x + y. Substitua o valor de y na função S=S(x,y), para ter apenas uma variável na função, dada por: sobre o intervalo [1,12] e a sua derivada é dada por: Os pontos críticos são x=2.R[3] em [1,12] e x=-2.R[3]. Este último, não serve aos nossos propósitos. O valor mínimo de S é S(2.R[3]) = 4.R[3]. Determinar números positivos x e y, cujo produto seja igual a P mas cuja soma seja a menor possível. Dica: Repetir o exercício anterior com P no lugar de 12. Determinar números inteiros não negativos x e y, cujo produto seja máximo mas cuja soma seja igual a 12. Solução: x+y=12, P(x)=x.y= x(12-x)=12x-x2 Usando um processo simples, podemos decompor o número 12, em: P=P(x)=x(12-x) representa uma parábola que passa pelos pontos (0,0), (12,0) e (6,36) e tem a concavidade (boca) voltada para baixo. P(6)=36 é o valor máximo para o produto e x=y=6 é a resposta procurada. Derivando P(x)=12x-x2 obtemos P '(x)=12-2x. O ponto crítico é x=6, P"(6)=-2<0, logo, P(6)=36 é o valor máximo para o produto P. Determinar números inteiros não negativos x e y, cujo produto seja máximo mas cuja soma seja igual a S. Dica: Repetir o exercício anterior com S no lugar de 12. Se x, y e z são três números reais positivos, mostrar que a média harmônica é dominada pela média geométrica, que por sua vez é dominada pela média aritmética, isto é: Se x1, x2, ..., xn são n números reais positivos, mostrar que:
sobre o intervalo [1,12] e a sua derivada é dada por:
Os pontos críticos são x=2.R[3] em [1,12] e x=-2.R[3]. Este último, não serve aos nossos propósitos. O valor mínimo de S é S(2.R[3]) = 4.R[3].
P=P(x)=x(12-x) representa uma parábola que passa pelos pontos (0,0), (12,0) e (6,36) e tem a concavidade (boca) voltada para baixo.
P(6)=36 é o valor máximo para o produto e x=y=6 é a resposta procurada. Derivando P(x)=12x-x2 obtemos P '(x)=12-2x. O ponto crítico é x=6, P"(6)=-2<0, logo, P(6)=36 é o valor máximo para o produto P.