Matematica Essencial: Maximos e Minimos de funcoes Máximos e Mínimos: Aplicações geométricas Roteiro geral Conceitos básicos Teste da primeira derivada Teste da segunda derivada Médias: Arit-Geom-Harm Aplicações numéricas Aplicações geométricas Aplicações práticas Derivada Implícita Nesta página, a notação R[x] representa a função raiz quadrada de x>0. Dentre todos os retângulos que estão inscritos em um círculo de raio r, determinar aquele que tem a área máxima. Solução: Construímos um retângulo genérico com comprimento 2x e largura 2y. Assim, a área será A(x,y)=4xy. Acontece que o ponto (x,y) pertence à circunferência x2+y2=r2 e podemos extrair o valor de y nesta relação e obter a função não negativa: A primeira derivada desta função nos dá Dentre todos os retângulos que estão inscritos em um círculo de raio r, determinar aquele que tem o perímetro mínimo. Solução: A idéia é construir um retângulo genérico com comprimento 2x e largura 2y. Assim, o perímetro p(x,y)=2(x+y). O ponto (x,y) pertence à circunferência x2+y2=r2 e podemos extrair o valor de y nesta relação para obter a função não negativa A primeira derivada desta função nos dá x=-r.R[2]/2 e x=r.R[2]/2 são pontos críticos para p=p(x), mas somente o segundo ponto tem sentido, tendo em vista que a medida para x deve ser positiva e o valor mínimo para o perímetro é p(r.R[2]/2)=2r.R[2]. Seja um triângulo isósceles com base 2B e altura H dadas. Quais são as dimensões de um retângulo de maior área possível, tendo altura h e lado medindo 2r apoiado sobre a base do triângulo e o outro lado paralelo, com os vértices localizados nos lados de mesma medida do triângulo? Solução: Devemos montar uma proporção: para obter Esta função depende agora, apenas da variável r e a sua derivada em relação a r, será: O ponto crítico é r=B/2 e como A"(r)=-4H/B<0, segue que o ponto r=B/2 é um ponto de máximo para A=A(r). Seja um cone circular reto de raio da base B e altura H. Quais são as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito nesse cone? Solução: Devemos olhar a estrutura espacial de longe e observar que o cone é semelhante a um triângulo isósceles e que o cilindro é semelhante a um retângulo e este problema espacial se converte em um problema no plano, exatamente igual ao anterior. Dentre todos os triângulos retângulos com a mesma hipotenusa fixada 2a, qual é o que tem maior perímetro? Dica: Considere um semi-círculo de diâmetro 2a e trace um triângulo retângulo com a hipotenusa apoiada sobre o diâmetro do semi-círculo. Devemos obter a posição do ponto (x,y) que pertence à circunferência de raio a, logo, x2+y2=a2, tal que os catetos sejam dados por b=R[(a+x)2+y2] e c=R[(a-x)2+y2]. A função para o perímetro será dada por Dentre todos os triângulos retângulos com o mesmo perímetro 2p, qual é o que tem a área máxima? Dica: Tomes as medidas x e y para os catetos e z=R[x2+y2] para a hipotenusa. O perímetro como 2p=x+y+z. Substituindo z=2p-x-y na primeira relação, obtemos uma relação que depende apenas de x e y. Como a área é dada por A=xy/2 e sabemos que: então substituindo y nesta função, teremos uma função da variável x: Os pontos críticos de A são x1=(2+R[2])p e x2=(2-R[2])p. Constate que x1 não serve mas que x2 é a resposta para a questão. Dentre todos os triângulos retângulos com a mesmo área A, qual é o que tem o menor perímetro? Dica: Considere as medidas x e y para os catetos, z=R[x2+y2] para a hipotenusa. A área será A=xy/2 e o perímetro p(x,y,z)=x+y+z. Obtenha o valor de y na primeira relação e substitua nas outras para obter a função da variável x: Dentre todos os triângulos com a mesma base b e mesmo perímetro 2p, qual é o que tem a área máxima? Dica: Tome um triângulo com a base b e identifique com x e y os outros lados. O perímetro será 2p=b+x+y e a área é dada pela fórmula de Heron: Extraia o valor de y, substitua nesta última fórmula, determine os pontos críticos de A=A(x) e constate que o triângulo deve ser isósceles. Dentre todos os triângulos isósceles cujos lados iguais medem b unidades, qual é o que tem a área máxima? Dica: A área de um triângulo é A=(1/2)p.qsen(x), onde p e q são os lados adjacentes que formam um ângulo x. Em nosso caso: Qual é o trapézio retangular de maior área que pode ser inscrito em um semi-círculo de raio r? Dica: Construímos um segmento de reta com extremidades nos pontos (x,y) e (-x,y). Este segmento deve ser paralelo ao segmento contendo o diâmetro do semi-círculo. Aqui, a área do trapézio é dada por A(x,y)=(r+x)y. Como as extremidades do segmento pertencem à circunferência x2+y2=r2, basta obter o valor de y nesta relação e substituir na expressão da área para obter: Conclua que x=r/2 e que o segmento deve medir r unidades. Quais são as dimensões do triângulo isósceles de menor área que pode ser circunscrito a um círculo de raio r? Dica: Tome um triângulo isósceles de base 2x, os lados que têm a mesma medida identificados com a letra z e a altura do triângulo com a letra y. A área será dada por A(x,y)=xy. Usar a semelhança de triângulos para mostrar que z=ry/x e na sequência eleve todos os membros dessa razão ao quadrado para obter z2=r2y2/x2. Use esta última relação para mostrar que existe uma relação apenas com x e y, dada por: Substitua o valor de y na função de área e mostre que o valor procurado é x=r R[3]. Também podemos mostrar que o ponto de mínimo para a área, coincide com o ponto de mínimo para o quadrado da área, isto é, basta mostrar que a função A2=A2(x) tem um mínimo no mesmo ponto citado antes. Dentre todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é igual a S, qual deles é o que tem maior volume? Dica: Lembrar que S=4(x+y+z), V=xyz. Dentre todos os paralelepípedos retangulares com a mesma área total A, qual é o que tem maior volume? Dica: A=2(xy+xz+yz), V=xyz Dentre todos os paralelepípedos retangulares que possuem o mesmo volume V, qual é o que tem menor área? Dica: A=2(xy+xz+yz), V=xyz Qual é o paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio dado r? Dica: Construa um paralelepípedo retangular com medidas 2x, 2y e 2z. Mostre que x2+y2 +z2=4r2 e use o fato que V=8xyz. Eleve ao cubo a função V para obter L(x,y,z)=512x2 y2z2. Substitua x2=u, y2=v e z2=w e você terá que obter o máximo de L(u,v,w)=512uvw sujeito a u+v+w=4r2. Dessa forma, você poderá usar a desigualdade das médias. Qual é o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio a? Dica: Construa geometricamente um cone de altura h e raio da base r. Mostre que (h-R)2+r2=a2. Temos que V=(1/3).pi.r2h. Extraia o valor de r na primeira relação, substitua na função para obter Mostre que o raio procurado é r=2a/3 R[2]. Qual é o cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito em uma esfera de raio a? Dica: Construa um cilindro de raio r e altura 2h inscrito na esfera. A área lateral será dada por A=4.pi.rh. Obtenha a relação r2+h2=a2. Trabalhe um pouco para obter a função Qual é o cilindro circular reto de maior área total que pode ser inscrito em uma esfera de raio a? Dica: Construa um cilindro de raio r e altura 2h inscrito na esfera. A área total será dada por A=2.pi.r(r+2h). Obtenha a relação r2+h2=a2. Trabalhe um pouco para obter uma função da variável h. Qual é cone circular reto de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio r? Dica: Construa a esfera de raio r e um cone com altura h+r, tome z como a geratriz e a o raio da base do cone. Usando a semelhança de triângulos, mostre que existem as relações R/z=r/h-r e z2=a2+h2. O volume do cone é dado por V=(1/3).pi.a2h Qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito em um quadrado cujo lado mede a unidades? Dica: Construa um retângulo inscrito em um quadrado, de acordo com a figura, em anexo. Ao invés de obter o máximo da área A(z,w)=z.w, calcule o máximo do quadrado da área, pois é mais eficiente e prático. A função será: Por semelhança de triângulos, obtemos a relação envolvendo x e y: Esta relação identifica que y=a ou que y=x. Se y=a, temos o próprio quadrado original que é o quadrado de maior área que existe dentro dele próprio. Qual é o retângulo de menor área que pode ser inscrito em um quadrado cujo lado mede a unidades? Dica: Seguimos a mesma análise que o exercício anterior, mas consideramos y=x, que nos garante que Esta função possui ponto de mínimo em x=a/2. Qual é o triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r unidades? Dica: Inscrevemos um triângulo isósceles de altura h e base 2b. Assim: Ao invés de obter o máximo da área, dada aqui por A=b.h, obteremos o máximo do quadrado da área, para obter uma função de apenas uma variável: É facil mostrar que a altura desejada para o máximo é h=3r/2. Dentre todos os triângulos retângulos com o mesmo perímetro p, qual é o que tem a menor hipotenusa? Dica: Se a hipotenusa é z e os catetos x e y, então z2=x2+y2 e x+y+z=p. É facil ver que O ponto de mínimo é x=(1-R[2]/2)p. Dentre todos os triângulos retângulos cuja hipotenusa mede a, qual é o que tem a área máxima? Dica: Se a hipotenusa é a e os catetos x e y, então a2=x2+y2. A área é dada por A(x,y)=xy/2. Calcularemos o máximo para o quadrado da área, que é: ou seja O ponto de máximo é x=a R[2]/2. Qual é o retângulo de área máxima que pode ser inscrito em uma região elíptica envolvida pela curva onde a>0 e b>0? Dica: Construir uma elipse canônica e procurar o par ordenado (x,y) que pertence a esta curva. A área será A(x,y)=4xy. É bastante prático obter o máximo para o quadrado da área, que neste caso, será dado por: O máximo no 1o.quadrante está em x=aR[2]/2. Qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito na região limitada pelos gráficos das funções: y=ex, y=e-x, y=-ex e y=-e-x. Dica: x=1 é o ponto de máximo. Qual é o retângulo de área máxima que pode ser construído, tendo os vértices na região limitada pelas curvas y=x(a2-x2) e y=x(x2-a2). Dica: O máximo no 1o. quadrante está em x=aR[2]/2. Página construída por Ulysses Sodré Parcialmente traduzida do LaTeX pelo HEVEA [matweb/superior/maxmin/inclusao_dasecretaria.htm]
Dentre todos os retângulos que estão inscritos em um círculo de raio r, determinar aquele que tem a área máxima. Solução: Construímos um retângulo genérico com comprimento 2x e largura 2y. Assim, a área será A(x,y)=4xy. Acontece que o ponto (x,y) pertence à circunferência x2+y2=r2 e podemos extrair o valor de y nesta relação e obter a função não negativa: A primeira derivada desta função nos dá Dentre todos os retângulos que estão inscritos em um círculo de raio r, determinar aquele que tem o perímetro mínimo. Solução: A idéia é construir um retângulo genérico com comprimento 2x e largura 2y. Assim, o perímetro p(x,y)=2(x+y). O ponto (x,y) pertence à circunferência x2+y2=r2 e podemos extrair o valor de y nesta relação para obter a função não negativa A primeira derivada desta função nos dá x=-r.R[2]/2 e x=r.R[2]/2 são pontos críticos para p=p(x), mas somente o segundo ponto tem sentido, tendo em vista que a medida para x deve ser positiva e o valor mínimo para o perímetro é p(r.R[2]/2)=2r.R[2]. Seja um triângulo isósceles com base 2B e altura H dadas. Quais são as dimensões de um retângulo de maior área possível, tendo altura h e lado medindo 2r apoiado sobre a base do triângulo e o outro lado paralelo, com os vértices localizados nos lados de mesma medida do triângulo? Solução: Devemos montar uma proporção: para obter Esta função depende agora, apenas da variável r e a sua derivada em relação a r, será: O ponto crítico é r=B/2 e como A"(r)=-4H/B<0, segue que o ponto r=B/2 é um ponto de máximo para A=A(r). Seja um cone circular reto de raio da base B e altura H. Quais são as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito nesse cone? Solução: Devemos olhar a estrutura espacial de longe e observar que o cone é semelhante a um triângulo isósceles e que o cilindro é semelhante a um retângulo e este problema espacial se converte em um problema no plano, exatamente igual ao anterior. Dentre todos os triângulos retângulos com a mesma hipotenusa fixada 2a, qual é o que tem maior perímetro? Dica: Considere um semi-círculo de diâmetro 2a e trace um triângulo retângulo com a hipotenusa apoiada sobre o diâmetro do semi-círculo. Devemos obter a posição do ponto (x,y) que pertence à circunferência de raio a, logo, x2+y2=a2, tal que os catetos sejam dados por b=R[(a+x)2+y2] e c=R[(a-x)2+y2]. A função para o perímetro será dada por Dentre todos os triângulos retângulos com o mesmo perímetro 2p, qual é o que tem a área máxima? Dica: Tomes as medidas x e y para os catetos e z=R[x2+y2] para a hipotenusa. O perímetro como 2p=x+y+z. Substituindo z=2p-x-y na primeira relação, obtemos uma relação que depende apenas de x e y. Como a área é dada por A=xy/2 e sabemos que: então substituindo y nesta função, teremos uma função da variável x: Os pontos críticos de A são x1=(2+R[2])p e x2=(2-R[2])p. Constate que x1 não serve mas que x2 é a resposta para a questão. Dentre todos os triângulos retângulos com a mesmo área A, qual é o que tem o menor perímetro? Dica: Considere as medidas x e y para os catetos, z=R[x2+y2] para a hipotenusa. A área será A=xy/2 e o perímetro p(x,y,z)=x+y+z. Obtenha o valor de y na primeira relação e substitua nas outras para obter a função da variável x: Dentre todos os triângulos com a mesma base b e mesmo perímetro 2p, qual é o que tem a área máxima? Dica: Tome um triângulo com a base b e identifique com x e y os outros lados. O perímetro será 2p=b+x+y e a área é dada pela fórmula de Heron: Extraia o valor de y, substitua nesta última fórmula, determine os pontos críticos de A=A(x) e constate que o triângulo deve ser isósceles. Dentre todos os triângulos isósceles cujos lados iguais medem b unidades, qual é o que tem a área máxima? Dica: A área de um triângulo é A=(1/2)p.qsen(x), onde p e q são os lados adjacentes que formam um ângulo x. Em nosso caso: Qual é o trapézio retangular de maior área que pode ser inscrito em um semi-círculo de raio r? Dica: Construímos um segmento de reta com extremidades nos pontos (x,y) e (-x,y). Este segmento deve ser paralelo ao segmento contendo o diâmetro do semi-círculo. Aqui, a área do trapézio é dada por A(x,y)=(r+x)y. Como as extremidades do segmento pertencem à circunferência x2+y2=r2, basta obter o valor de y nesta relação e substituir na expressão da área para obter: Conclua que x=r/2 e que o segmento deve medir r unidades. Quais são as dimensões do triângulo isósceles de menor área que pode ser circunscrito a um círculo de raio r? Dica: Tome um triângulo isósceles de base 2x, os lados que têm a mesma medida identificados com a letra z e a altura do triângulo com a letra y. A área será dada por A(x,y)=xy. Usar a semelhança de triângulos para mostrar que z=ry/x e na sequência eleve todos os membros dessa razão ao quadrado para obter z2=r2y2/x2. Use esta última relação para mostrar que existe uma relação apenas com x e y, dada por: Substitua o valor de y na função de área e mostre que o valor procurado é x=r R[3]. Também podemos mostrar que o ponto de mínimo para a área, coincide com o ponto de mínimo para o quadrado da área, isto é, basta mostrar que a função A2=A2(x) tem um mínimo no mesmo ponto citado antes. Dentre todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é igual a S, qual deles é o que tem maior volume? Dica: Lembrar que S=4(x+y+z), V=xyz. Dentre todos os paralelepípedos retangulares com a mesma área total A, qual é o que tem maior volume? Dica: A=2(xy+xz+yz), V=xyz Dentre todos os paralelepípedos retangulares que possuem o mesmo volume V, qual é o que tem menor área? Dica: A=2(xy+xz+yz), V=xyz Qual é o paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio dado r? Dica: Construa um paralelepípedo retangular com medidas 2x, 2y e 2z. Mostre que x2+y2 +z2=4r2 e use o fato que V=8xyz. Eleve ao cubo a função V para obter L(x,y,z)=512x2 y2z2. Substitua x2=u, y2=v e z2=w e você terá que obter o máximo de L(u,v,w)=512uvw sujeito a u+v+w=4r2. Dessa forma, você poderá usar a desigualdade das médias. Qual é o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio a? Dica: Construa geometricamente um cone de altura h e raio da base r. Mostre que (h-R)2+r2=a2. Temos que V=(1/3).pi.r2h. Extraia o valor de r na primeira relação, substitua na função para obter Mostre que o raio procurado é r=2a/3 R[2]. Qual é o cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito em uma esfera de raio a? Dica: Construa um cilindro de raio r e altura 2h inscrito na esfera. A área lateral será dada por A=4.pi.rh. Obtenha a relação r2+h2=a2. Trabalhe um pouco para obter a função Qual é o cilindro circular reto de maior área total que pode ser inscrito em uma esfera de raio a? Dica: Construa um cilindro de raio r e altura 2h inscrito na esfera. A área total será dada por A=2.pi.r(r+2h). Obtenha a relação r2+h2=a2. Trabalhe um pouco para obter uma função da variável h. Qual é cone circular reto de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio r? Dica: Construa a esfera de raio r e um cone com altura h+r, tome z como a geratriz e a o raio da base do cone. Usando a semelhança de triângulos, mostre que existem as relações R/z=r/h-r e z2=a2+h2. O volume do cone é dado por V=(1/3).pi.a2h Qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito em um quadrado cujo lado mede a unidades? Dica: Construa um retângulo inscrito em um quadrado, de acordo com a figura, em anexo. Ao invés de obter o máximo da área A(z,w)=z.w, calcule o máximo do quadrado da área, pois é mais eficiente e prático. A função será: Por semelhança de triângulos, obtemos a relação envolvendo x e y: Esta relação identifica que y=a ou que y=x. Se y=a, temos o próprio quadrado original que é o quadrado de maior área que existe dentro dele próprio. Qual é o retângulo de menor área que pode ser inscrito em um quadrado cujo lado mede a unidades? Dica: Seguimos a mesma análise que o exercício anterior, mas consideramos y=x, que nos garante que Esta função possui ponto de mínimo em x=a/2. Qual é o triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r unidades? Dica: Inscrevemos um triângulo isósceles de altura h e base 2b. Assim: Ao invés de obter o máximo da área, dada aqui por A=b.h, obteremos o máximo do quadrado da área, para obter uma função de apenas uma variável: É facil mostrar que a altura desejada para o máximo é h=3r/2. Dentre todos os triângulos retângulos com o mesmo perímetro p, qual é o que tem a menor hipotenusa? Dica: Se a hipotenusa é z e os catetos x e y, então z2=x2+y2 e x+y+z=p. É facil ver que O ponto de mínimo é x=(1-R[2]/2)p. Dentre todos os triângulos retângulos cuja hipotenusa mede a, qual é o que tem a área máxima? Dica: Se a hipotenusa é a e os catetos x e y, então a2=x2+y2. A área é dada por A(x,y)=xy/2. Calcularemos o máximo para o quadrado da área, que é: ou seja O ponto de máximo é x=a R[2]/2. Qual é o retângulo de área máxima que pode ser inscrito em uma região elíptica envolvida pela curva onde a>0 e b>0? Dica: Construir uma elipse canônica e procurar o par ordenado (x,y) que pertence a esta curva. A área será A(x,y)=4xy. É bastante prático obter o máximo para o quadrado da área, que neste caso, será dado por: O máximo no 1o.quadrante está em x=aR[2]/2. Qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito na região limitada pelos gráficos das funções: y=ex, y=e-x, y=-ex e y=-e-x. Dica: x=1 é o ponto de máximo. Qual é o retângulo de área máxima que pode ser construído, tendo os vértices na região limitada pelas curvas y=x(a2-x2) e y=x(x2-a2). Dica: O máximo no 1o. quadrante está em x=aR[2]/2.
A primeira derivada desta função nos dá
x=-r.R[2]/2 e x=r.R[2]/2 são pontos críticos para p=p(x), mas somente o segundo ponto tem sentido, tendo em vista que a medida para x deve ser positiva e o valor mínimo para o perímetro é p(r.R[2]/2)=2r.R[2].
para obter
Esta função depende agora, apenas da variável r e a sua derivada em relação a r, será:
O ponto crítico é r=B/2 e como A"(r)=-4H/B<0, segue que o ponto r=B/2 é um ponto de máximo para A=A(r).
Solução: Devemos olhar a estrutura espacial de longe e observar que o cone é semelhante a um triângulo isósceles e que o cilindro é semelhante a um retângulo e este problema espacial se converte em um problema no plano, exatamente igual ao anterior.
Dica: Considere um semi-círculo de diâmetro 2a e trace um triângulo retângulo com a hipotenusa apoiada sobre o diâmetro do semi-círculo. Devemos obter a posição do ponto (x,y) que pertence à circunferência de raio a, logo, x2+y2=a2, tal que os catetos sejam dados por b=R[(a+x)2+y2] e c=R[(a-x)2+y2]. A função para o perímetro será dada por
Dica: Tomes as medidas x e y para os catetos e z=R[x2+y2] para a hipotenusa. O perímetro como 2p=x+y+z. Substituindo z=2p-x-y na primeira relação, obtemos uma relação que depende apenas de x e y. Como a área é dada por A=xy/2 e sabemos que:
então substituindo y nesta função, teremos uma função da variável x:
Os pontos críticos de A são x1=(2+R[2])p e x2=(2-R[2])p. Constate que x1 não serve mas que x2 é a resposta para a questão.
Dica: Tome um triângulo com a base b e identifique com x e y os outros lados. O perímetro será 2p=b+x+y e a área é dada pela fórmula de Heron:
Extraia o valor de y, substitua nesta última fórmula, determine os pontos críticos de A=A(x) e constate que o triângulo deve ser isósceles.
Dica: Construímos um segmento de reta com extremidades nos pontos (x,y) e (-x,y). Este segmento deve ser paralelo ao segmento contendo o diâmetro do semi-círculo. Aqui, a área do trapézio é dada por A(x,y)=(r+x)y. Como as extremidades do segmento pertencem à circunferência x2+y2=r2, basta obter o valor de y nesta relação e substituir na expressão da área para obter:
Conclua que x=r/2 e que o segmento deve medir r unidades.
Dica: Tome um triângulo isósceles de base 2x, os lados que têm a mesma medida identificados com a letra z e a altura do triângulo com a letra y. A área será dada por A(x,y)=xy. Usar a semelhança de triângulos para mostrar que z=ry/x e na sequência eleve todos os membros dessa razão ao quadrado para obter z2=r2y2/x2. Use esta última relação para mostrar que existe uma relação apenas com x e y, dada por:
Substitua o valor de y na função de área e mostre que o valor procurado é x=r R[3]. Também podemos mostrar que o ponto de mínimo para a área, coincide com o ponto de mínimo para o quadrado da área, isto é, basta mostrar que a função A2=A2(x) tem um mínimo no mesmo ponto citado antes.
Dica: Lembrar que S=4(x+y+z), V=xyz.
Mostre que o raio procurado é r=2a/3 R[2].
Dica: Construa um retângulo inscrito em um quadrado, de acordo com a figura, em anexo. Ao invés de obter o máximo da área A(z,w)=z.w, calcule o máximo do quadrado da área, pois é mais eficiente e prático. A função será:
Por semelhança de triângulos, obtemos a relação envolvendo x e y:
Esta relação identifica que y=a ou que y=x. Se y=a, temos o próprio quadrado original que é o quadrado de maior área que existe dentro dele próprio.
Esta função possui ponto de mínimo em x=a/2.
Dica: Inscrevemos um triângulo isósceles de altura h e base 2b. Assim:
Ao invés de obter o máximo da área, dada aqui por A=b.h, obteremos o máximo do quadrado da área, para obter uma função de apenas uma variável:
É facil mostrar que a altura desejada para o máximo é h=3r/2.
Dica: Se a hipotenusa é z e os catetos x e y, então z2=x2+y2 e x+y+z=p. É facil ver que
O ponto de mínimo é x=(1-R[2]/2)p.
ou seja
O ponto de máximo é x=a R[2]/2.
onde a>0 e b>0?
Dica: Construir uma elipse canônica e procurar o par ordenado (x,y) que pertence a esta curva. A área será A(x,y)=4xy. É bastante prático obter o máximo para o quadrado da área, que neste caso, será dado por:
O máximo no 1o.quadrante está em x=aR[2]/2.