Matematica Essencial: Maximos e Minimos de funcoes Máximos e Mínimos: Aplicações práticas Roteiro geral Conceitos básicos Teste da primeira derivada Teste da segunda derivada Médias: Arit-Geom-Harm Aplicações numéricas Aplicações geométricas Aplicações práticas Derivada Implícita Nesta página, a notação R[x] representa a função raiz quadrada de x>0. Lata de conserva: Dentre todos os cilindros circulares retos com o mesmo volume V, qual é o que tem a menor área total? Dica: V=pi.r2.h onde r é o raio da base circular e h é a altura da lata. A área total é dada por A=2.pi.r(r+h). Obtenha o valor de h na primeira expressão e substitua na segunda para obter uma função apenas da variável r. Reflexão da luz: Um raio luminoso homogêneo (que possui as mesmas propriedades em todos os pontos) foi emitido a partir de um ponto P localizado em um meio isotrópico (possui as mesmas propriedades em todas as direções), atingiu um ponto E de um espelho formando um ângulo de incidência com a reta normal ao espelho igual a x e refletiu em um ponto P'. Se o raio luminoso formar um ângulo ângulo de reflexão igual a y com a reta normal ao espelho e o tempo gasto no processo de propagação for mínimo, qual é a relação entre x e y? Dica: Ver algum livro de Ótica. Otimização: Um papelão quadrado com 14400 cm2 de área, deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o máximo volume. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será retirado nos quatro cantos do papelão. Solução: Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado (120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por: ou seja V '(x)=12(x2-80x+1200) e os pontos críticos são: x=60 e x=20. Se x=60, o papelão será cortado ao meio e não teremos caixa. Se tomarmos a altura x=20, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm e o volume máximo será: V(20)=128.000 cm3 Otimização: Um papelão quadrado com a2 cm2 de área deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o máximo volume. Nesse sentido, devem ser retirados os quatro cantos do papelão. Determinar qual deve ser a medida x do lado de cada quadrado que será excluído. Dica: Repetir o exercício anterior com a no lugar de 120. Refração da luz: Um raio de luz homogêneo (que possui as mesmas propriedades em todos os pontos) foi emitido a partir de um ponto A1 localizado em um meio isotrópico (possui as mesmas propriedades em todas as direções) M1 e atingiu um ponto A2 localizado em outro meio isotrópico M2, passando antes por um ponto M localizado na confluência dos meios. Se o ponto A1 está acima da linha horizontal que contém M exatamente a h1 unidades de altura e o ponto A2 está abaixo da linha horizontal que contém M exatamente a h2 unidades de altura, determinar a posição de M para que o raio emitido em A1 gaste o menor tempo para chegar ao ponto A2. Solução: Pelo princípio de Fermat, o raio luminoso gastará um tempo t mínimo para atingir o objetivo, gastando um tempo t1 no meio onde ocorre a incidência e um tempo t2 onde ocorre a refração. Indicaremos com x a medida horizontal da projeção do raio de incidência e com d a distância horizontal das projeções de A1 e A2. A medida l1 representará a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos h1 e x e l2 a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos h1 e d-x, assim: e Usando o conceito que velocidade=espaço/tempo, segue que v1=l1/t1 e v2=l2/t2. Desse modo ou seja t = R[h12 + x2] v1 + R[(d-x)2 + h22] v2 Ao derivar a função tempo t em relação à variável x, obtemos: dt dx = x v1 R[h12 + x2] - d-x v2 R[(d-x)2 + h22] O ponto crítico é aquele que anula a derivada, logo: que pode ser escrita como: Da trigonometria elementar, segue que e logo que é o princípio da refração da luz. Lançamento de projétil: Um projétil foi lançado em um meio (sem atrito), formando um ângulo com o eixo horizontal igual a x. Qual deve ser o ângulo x para que o projétil alcance a maior distância horizontal possível da origem do lançamento? Dica: Ver a minha página com Aplicações da parábola. Otimização: Um pintor comprou uma lata de tinta para cobrir uma área a2. Sabendo-se que ele cobrirá duas regiões quadradas separadas, quais devem ser os lados x e y desses quadrados para que a soma dos perímetros dos quadrados será máxima? Dica: Soma dos perímetros: p(x,y)=4(x+y) e x2+y2=a2. Extraindo o valor de y na relação, obtemos O ponto de máximo é x=a R[2]/2. Otimização: Uma haste de 96 cm foi cortada e as partes soldadas como as arestas de dois cubos construídos separados um do outro. Qual é o volume máximo obtido pela soma dos volumes dos cubos? Otimização: Uma haste metálica medindo m foi cortada e as partes soldadas como os lados de dois quadrados, com o aproveitamento de um dos lados de forma que este lado de um quadrado ficou sendo o lado do outro quadrado. Qual é a menor área possível que podemos obter, exigindo sempre a existência dos dois quadrados? Resposta: O ponto de mínimo ocorre quando x=8m/50. Otimização: Uma haste metálica fina medindo m foi dobrada de forma a montar dois triângulos equiláteros um ao lado ao outro, apoiados sobre uma mesma horizontal. Qual é a menor área possível para esses triângulos? O que acontece se construirmos apenas um triângulo? Dica: 3x+3y=m e a área é dada por A(x,y)=R[3]/4 (x2+y2). O ponto de mínimo ocorre quando x=m/6. Otimização: Uma haste metálica fina medindo m foi dobrada de forma a montar um quadrado tangenciando um círculo. Quais devem ser as medidas desses objetos para que a área das regiões limitadas por elas seja mínima? Dica: 4x+2.piy=m e a área é A(x,y)=x2+pi.y2. O ponto de mínimo ocorre quando x=mpi(4+pi)/2. Distância de um ponto a uma reta em R2: Dado um ponto P=(x0,y0) localizado fora da reta r cuja equação geral está dada por ax+by+c=0, determinar a fórmula para a menor distância entre este ponto P e os pontos da reta r. Dica: Ao invés de obter o ponto de mínimo da distância, obteremos o ponto de mínimo para o quadrado da distância, que resulta em um trabalho menor e com a mesma eficiência. Substitua o valor de y obtido na relação ax+by+c=0 na fórmula da distância entre dois pontos: Você obterá a conhecida fórmula: Distância entre curvas: A reta y=x e a curva y=x2 localizadas no primeiro quadrante passam por (0,0) e (1,1). Existe um ponto localizado sobre a parábola que está mais distante da reta. Observando a simetria das curvas envolvidas, é possível visualizar o ponto como sendo o que está na interseção da reta x+y=1 com a parábola y=x2. Como você obteria a solução analítica desse problema, usando os conceitos de máximos e mínimos de funções reais? Distância de um ponto a uma curva: Seja P=(a,b) um ponto localizado no primeiro quadrante. Determinar graficamente os pontos que pertencem à circunferência x2+y2=r2 que estão a menor e a maior distância do ponto P. Usar derivadas e extremos de funções para confirmar o resultado obtido. Observe que, do ponto de vista matemático, um desenho não prova absolutamente nada! Distância de um ponto a uma curva: Seja a curva xy=1 localizada no primeiro quadrante. Determinar tanto graficamente como analiticamente, o ponto da curva que está localizado a menor distância da origem. Dica: O ponto de mínimo é x=1. Distância de um ponto a uma curva: Seja o ramo da curva y=x+1/x localizada no primeiro quadrante. Determinar o ponto da curva que está localizado à menor distância da origem. Dica: O ponto de mínimo é tal que x4 = 1/2. Outros problemas interessantes AssuntoÁrea Volume de alimento em um navioOtimização Triângulo isósceles em um círculoGeometria Altura de uma estátuaGeometria O pedestre e o ônibusOtimização Lucro de um fabricanteOtimização Construção de uma panelaOtimização Potência elétricaEletricidade Página construída por Ulysses Sodré Parcialmente traduzida do LaTeX pelo HEVEA
Lata de conserva: Dentre todos os cilindros circulares retos com o mesmo volume V, qual é o que tem a menor área total? Dica: V=pi.r2.h onde r é o raio da base circular e h é a altura da lata. A área total é dada por A=2.pi.r(r+h). Obtenha o valor de h na primeira expressão e substitua na segunda para obter uma função apenas da variável r. Reflexão da luz: Um raio luminoso homogêneo (que possui as mesmas propriedades em todos os pontos) foi emitido a partir de um ponto P localizado em um meio isotrópico (possui as mesmas propriedades em todas as direções), atingiu um ponto E de um espelho formando um ângulo de incidência com a reta normal ao espelho igual a x e refletiu em um ponto P'. Se o raio luminoso formar um ângulo ângulo de reflexão igual a y com a reta normal ao espelho e o tempo gasto no processo de propagação for mínimo, qual é a relação entre x e y? Dica: Ver algum livro de Ótica. Otimização: Um papelão quadrado com 14400 cm2 de área, deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o máximo volume. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será retirado nos quatro cantos do papelão. Solução: Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado (120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por: ou seja V '(x)=12(x2-80x+1200) e os pontos críticos são: x=60 e x=20. Se x=60, o papelão será cortado ao meio e não teremos caixa. Se tomarmos a altura x=20, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm e o volume máximo será: V(20)=128.000 cm3 Otimização: Um papelão quadrado com a2 cm2 de área deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o máximo volume. Nesse sentido, devem ser retirados os quatro cantos do papelão. Determinar qual deve ser a medida x do lado de cada quadrado que será excluído. Dica: Repetir o exercício anterior com a no lugar de 120. Refração da luz: Um raio de luz homogêneo (que possui as mesmas propriedades em todos os pontos) foi emitido a partir de um ponto A1 localizado em um meio isotrópico (possui as mesmas propriedades em todas as direções) M1 e atingiu um ponto A2 localizado em outro meio isotrópico M2, passando antes por um ponto M localizado na confluência dos meios. Se o ponto A1 está acima da linha horizontal que contém M exatamente a h1 unidades de altura e o ponto A2 está abaixo da linha horizontal que contém M exatamente a h2 unidades de altura, determinar a posição de M para que o raio emitido em A1 gaste o menor tempo para chegar ao ponto A2. Solução: Pelo princípio de Fermat, o raio luminoso gastará um tempo t mínimo para atingir o objetivo, gastando um tempo t1 no meio onde ocorre a incidência e um tempo t2 onde ocorre a refração. Indicaremos com x a medida horizontal da projeção do raio de incidência e com d a distância horizontal das projeções de A1 e A2. A medida l1 representará a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos h1 e x e l2 a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos h1 e d-x, assim: e Usando o conceito que velocidade=espaço/tempo, segue que v1=l1/t1 e v2=l2/t2. Desse modo ou seja t = R[h12 + x2] v1 + R[(d-x)2 + h22] v2 Ao derivar a função tempo t em relação à variável x, obtemos: dt dx = x v1 R[h12 + x2] - d-x v2 R[(d-x)2 + h22] O ponto crítico é aquele que anula a derivada, logo: que pode ser escrita como: Da trigonometria elementar, segue que e logo que é o princípio da refração da luz. Lançamento de projétil: Um projétil foi lançado em um meio (sem atrito), formando um ângulo com o eixo horizontal igual a x. Qual deve ser o ângulo x para que o projétil alcance a maior distância horizontal possível da origem do lançamento? Dica: Ver a minha página com Aplicações da parábola. Otimização: Um pintor comprou uma lata de tinta para cobrir uma área a2. Sabendo-se que ele cobrirá duas regiões quadradas separadas, quais devem ser os lados x e y desses quadrados para que a soma dos perímetros dos quadrados será máxima? Dica: Soma dos perímetros: p(x,y)=4(x+y) e x2+y2=a2. Extraindo o valor de y na relação, obtemos O ponto de máximo é x=a R[2]/2. Otimização: Uma haste de 96 cm foi cortada e as partes soldadas como as arestas de dois cubos construídos separados um do outro. Qual é o volume máximo obtido pela soma dos volumes dos cubos? Otimização: Uma haste metálica medindo m foi cortada e as partes soldadas como os lados de dois quadrados, com o aproveitamento de um dos lados de forma que este lado de um quadrado ficou sendo o lado do outro quadrado. Qual é a menor área possível que podemos obter, exigindo sempre a existência dos dois quadrados? Resposta: O ponto de mínimo ocorre quando x=8m/50. Otimização: Uma haste metálica fina medindo m foi dobrada de forma a montar dois triângulos equiláteros um ao lado ao outro, apoiados sobre uma mesma horizontal. Qual é a menor área possível para esses triângulos? O que acontece se construirmos apenas um triângulo? Dica: 3x+3y=m e a área é dada por A(x,y)=R[3]/4 (x2+y2). O ponto de mínimo ocorre quando x=m/6. Otimização: Uma haste metálica fina medindo m foi dobrada de forma a montar um quadrado tangenciando um círculo. Quais devem ser as medidas desses objetos para que a área das regiões limitadas por elas seja mínima? Dica: 4x+2.piy=m e a área é A(x,y)=x2+pi.y2. O ponto de mínimo ocorre quando x=mpi(4+pi)/2. Distância de um ponto a uma reta em R2: Dado um ponto P=(x0,y0) localizado fora da reta r cuja equação geral está dada por ax+by+c=0, determinar a fórmula para a menor distância entre este ponto P e os pontos da reta r. Dica: Ao invés de obter o ponto de mínimo da distância, obteremos o ponto de mínimo para o quadrado da distância, que resulta em um trabalho menor e com a mesma eficiência. Substitua o valor de y obtido na relação ax+by+c=0 na fórmula da distância entre dois pontos: Você obterá a conhecida fórmula: Distância entre curvas: A reta y=x e a curva y=x2 localizadas no primeiro quadrante passam por (0,0) e (1,1). Existe um ponto localizado sobre a parábola que está mais distante da reta. Observando a simetria das curvas envolvidas, é possível visualizar o ponto como sendo o que está na interseção da reta x+y=1 com a parábola y=x2. Como você obteria a solução analítica desse problema, usando os conceitos de máximos e mínimos de funções reais? Distância de um ponto a uma curva: Seja P=(a,b) um ponto localizado no primeiro quadrante. Determinar graficamente os pontos que pertencem à circunferência x2+y2=r2 que estão a menor e a maior distância do ponto P. Usar derivadas e extremos de funções para confirmar o resultado obtido. Observe que, do ponto de vista matemático, um desenho não prova absolutamente nada! Distância de um ponto a uma curva: Seja a curva xy=1 localizada no primeiro quadrante. Determinar tanto graficamente como analiticamente, o ponto da curva que está localizado a menor distância da origem. Dica: O ponto de mínimo é x=1. Distância de um ponto a uma curva: Seja o ramo da curva y=x+1/x localizada no primeiro quadrante. Determinar o ponto da curva que está localizado à menor distância da origem. Dica: O ponto de mínimo é tal que x4 = 1/2. Outros problemas interessantes AssuntoÁrea Volume de alimento em um navioOtimização Triângulo isósceles em um círculoGeometria Altura de uma estátuaGeometria O pedestre e o ônibusOtimização Lucro de um fabricanteOtimização Construção de uma panelaOtimização Potência elétricaEletricidade
Solução: Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado (120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por:
ou seja
V '(x)=12(x2-80x+1200) e os pontos críticos são: x=60 e x=20. Se x=60, o papelão será cortado ao meio e não teremos caixa. Se tomarmos a altura x=20, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm e o volume máximo será: V(20)=128.000 cm3
Solução: Pelo princípio de Fermat, o raio luminoso gastará um tempo t mínimo para atingir o objetivo, gastando um tempo t1 no meio onde ocorre a incidência e um tempo t2 onde ocorre a refração. Indicaremos com x a medida horizontal da projeção do raio de incidência e com d a distância horizontal das projeções de A1 e A2. A medida l1 representará a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos h1 e x e l2 a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos h1 e d-x, assim:
O ponto crítico é aquele que anula a derivada, logo:
que pode ser escrita como:
Da trigonometria elementar, segue que
Dica: Soma dos perímetros: p(x,y)=4(x+y) e x2+y2=a2. Extraindo o valor de y na relação, obtemos
O ponto de máximo é x=a R[2]/2.
Dica: Ao invés de obter o ponto de mínimo da distância, obteremos o ponto de mínimo para o quadrado da distância, que resulta em um trabalho menor e com a mesma eficiência. Substitua o valor de y obtido na relação ax+by+c=0 na fórmula da distância entre dois pontos:
Você obterá a conhecida fórmula: