Matematica Essencial: Maximos e Minimos de funcoes Máximos e Mínimos: Derivada Implícita Roteiro geral Conceitos básicos Teste da primeira derivada Teste da segunda derivada Médias: Arit-Geom-Harm Aplicações numéricas Aplicações geométricas Aplicações práticas Derivada Implícita Derivada implícita com exemplos numéricos Antes de introduzir uma regra geral que permite obter os extremos de uma função definida implicitamente por F(x,y)=0, apresentaremos dois exemplos numéricos com funções conhecidas. Exemplo: Consideremos a curva conhecida como Folium de Descartes, definida implicitamente por Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima). Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva: Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: Simplificando, obtemos Desta relação, já temos a derivada y '=y '(x): Os pontos críticos xo são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, y'(xo)=0. Assim, existe uma solução trivial P=(0,0), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada. Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações: Este sistema fornece o ponto crítico Q=(xo,yo), dado por: Para evitar as frações, usaremos a expressão: Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos: Tomando esta relação no ponto x=xo e levando em consideração que y'(xo)=0, a expressão fica bem simples: Substituindo os valores de xo e yo, obtemos: o que garante que xo=a.21/3 é um ponto de máximo e yo = a.41/3 é o valor máximo de y=y(x). Exemplo: Consideremos a elipse rodada em relação aos eixos normais, definida implicitamente por Nosso objetivo é obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar y=y(x). A fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de y=y(x) fica complicada. Obteremos as duas primeiras derivadas de y=y(x), usando o processo de derivação implícita. Para realizar a primeira derivada implícita, vamos subentender que existe y=y(x) de modo que substituindo y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: Simplificando, obtemos Desta relação, temos a derivada: Os pontos críticos xo são os que anulam a primeira derivada, isto é, y '(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema: Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2). Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos: Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos: O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois Regra geral com derivada implícita Seja uma função definida implicitamente por Como em alguns casos, não é possível explicitar y=y(x) tal que utilizaremos derivadas parciais de F em relação a x e de F em relação a y, denotadas respectivamente por Fx e Fy, para realizar a derivada implícita da função e nesse caso, obteremos: Esta última relação pode ser simplificada na forma: donde segue que Usando a expressão: podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter: Como nos pontos críticos P=(xo,yo), temos que y'(xo)=0, então: e assim temos que Conclusão: Seja P=(xo,yo) um ponto crítico para y=y(x) que subentende a forma explícita da função F(x,y)=0, isto é, y'(xo)=0. Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem o mesmo sinal, P será ponto de máximo para função F(x,y)=0. Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem sinais diferentes, P será ponto de mínimo para função F(x,y)=0. Página construída por Ulysses Sodré Parcialmente traduzida do LaTeX pelo HEVEA
Derivada implícita com exemplos numéricos Antes de introduzir uma regra geral que permite obter os extremos de uma função definida implicitamente por F(x,y)=0, apresentaremos dois exemplos numéricos com funções conhecidas. Exemplo: Consideremos a curva conhecida como Folium de Descartes, definida implicitamente por Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima). Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva: Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: Simplificando, obtemos Desta relação, já temos a derivada y '=y '(x): Os pontos críticos xo são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, y'(xo)=0. Assim, existe uma solução trivial P=(0,0), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada. Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações: Este sistema fornece o ponto crítico Q=(xo,yo), dado por: Para evitar as frações, usaremos a expressão: Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos: Tomando esta relação no ponto x=xo e levando em consideração que y'(xo)=0, a expressão fica bem simples: Substituindo os valores de xo e yo, obtemos: o que garante que xo=a.21/3 é um ponto de máximo e yo = a.41/3 é o valor máximo de y=y(x). Exemplo: Consideremos a elipse rodada em relação aos eixos normais, definida implicitamente por Nosso objetivo é obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar y=y(x). A fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de y=y(x) fica complicada. Obteremos as duas primeiras derivadas de y=y(x), usando o processo de derivação implícita. Para realizar a primeira derivada implícita, vamos subentender que existe y=y(x) de modo que substituindo y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é: Simplificando, obtemos Desta relação, temos a derivada: Os pontos críticos xo são os que anulam a primeira derivada, isto é, y '(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema: Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2). Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos: Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos: O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois Regra geral com derivada implícita Seja uma função definida implicitamente por Como em alguns casos, não é possível explicitar y=y(x) tal que utilizaremos derivadas parciais de F em relação a x e de F em relação a y, denotadas respectivamente por Fx e Fy, para realizar a derivada implícita da função e nesse caso, obteremos: Esta última relação pode ser simplificada na forma: donde segue que Usando a expressão: podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter: Como nos pontos críticos P=(xo,yo), temos que y'(xo)=0, então: e assim temos que Conclusão: Seja P=(xo,yo) um ponto crítico para y=y(x) que subentende a forma explícita da função F(x,y)=0, isto é, y'(xo)=0. Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem o mesmo sinal, P será ponto de máximo para função F(x,y)=0. Se Fy(P) e Fxx(P) tiverem sinais diferentes, P será ponto de mínimo para função F(x,y)=0.
Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima). Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva:
Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é:
Simplificando, obtemos
Desta relação, já temos a derivada y '=y '(x):
Os pontos críticos xo são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, y'(xo)=0. Assim, existe uma solução trivial P=(0,0), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada. Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações:
Este sistema fornece o ponto crítico Q=(xo,yo), dado por:
Para evitar as frações, usaremos a expressão:
Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos:
Tomando esta relação no ponto x=xo e levando em consideração que y'(xo)=0, a expressão fica bem simples:
Substituindo os valores de xo e yo, obtemos:
o que garante que xo=a.21/3 é um ponto de máximo e yo = a.41/3 é o valor máximo de y=y(x).
Nosso objetivo é obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar y=y(x). A fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de y=y(x) fica complicada. Obteremos as duas primeiras derivadas de y=y(x), usando o processo de derivação implícita.
Para realizar a primeira derivada implícita, vamos subentender que existe y=y(x) de modo que substituindo y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é:
Desta relação, temos a derivada:
Os pontos críticos xo são os que anulam a primeira derivada, isto é, y '(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema:
Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2).
Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão
Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos:
Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos:
O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois
O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois
Como em alguns casos, não é possível explicitar y=y(x) tal que
utilizaremos derivadas parciais de F em relação a x e de F em relação a y, denotadas respectivamente por Fx e Fy, para realizar a derivada implícita da função e nesse caso, obteremos:
Esta última relação pode ser simplificada na forma:
donde segue que
Usando a expressão:
podemos realizar mais uma derivada implícita, para obter:
Como nos pontos críticos P=(xo,yo), temos que y'(xo)=0, então:
e assim temos que
Conclusão: Seja P=(xo,yo) um ponto crítico para y=y(x) que subentende a forma explícita da função F(x,y)=0, isto é, y'(xo)=0.