Em geral, os cursos de Cálculo começam por um breve estudo dos números reais e um curso de Análise Matemática tem início por um estudo bastante completo e rigoroso destes números. A razão é simples. No Cálculo e na Análise, estuda-se o comportamento de funções e o comportamento de uma função depende dos três elementos importantes que a compõem, quais sejam:

• O domínio
• O contradomínio
• A lei de definição

O interessante é que na ponta inicial do método construtivo também está o método axiomático. Na realidade, o método axiomático fundamenta toda teoria matemática. Por isso, vamos falar um pouco dele. Compreender como se faz matemática é algo vital para um professor de Matemática. Ninguém pode ensinar algo que não sabe, que não compreende.

Em uma teoria axiomática temos:

1. Termos indefinidos
2. Relações indefinidas
3. Axiomas relacionando termos indefinidos e relações indefinidas
4. Definições
5. Teoremas baseados em axiomas e definições

Exemplo: Um exemplo simples de teoria axiomática é a teoria dos conjuntos.

1. Conjunto e elemento de um conjunto são termos indefinidos.
2. Um elemento pertence a um conjunto é uma relação não definida.
3. A teoria dos conjuntos tem dois axiomas fundamentais (que não são os únicos):

Axioma da Especificação
Se P(x) é uma proposição qualquer e A é um conjunto qualquer, então existe um único conjunto B tal que:

B = {a : aA, P(a) é verdadeiro }

Com os elementos disponíveis, podemos definir novos objetos, como por exemplo, a reunião de dois conjuntos:

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, o que em símbolos matemáticos, pode ser escrito:

A B = { x : xA ou xB }

Agora, com base na definição anterior e no axioma da extensão podemos enunciar a propriedade associativa para a reunião:

Teorema: Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, então:

(A B) C = A (B) C)

Observamos que uma das conseqüências do axioma da especificação é a existência do conjunto vazio, geralmente tão mal compreendido. Por exemplo, consideremos no conjunto dos números naturais a seguinte proposição:

Se considerarmos o universo de trabalho como o conjunto dos números naturais, o conjunto B acima definido será vazio, isto é:

B = {aN : P(a) é verdadeiro } = { } = Ø

Observação: Historicamente, o século XIX foi caracterizado por grandes controvérsias na Matemática e pela falta de uma fundamentação precisa de conceitos e teorias, como:

• a teoria dos conjuntos,
• a teoria das funções,
• a teoria dos números reais,
• a teoria dos números complexos,...

Esperamos ter conseguido elucidar o que é o método axiomático. A partir daí, podemos voltar ao estudo dos números reais.

O conjunto dos números reais é um conjunto não vazio, caracterizado por alguns axiomas. Não vamos fazer aqui um estudo completo de todos, mas daqueles que decorrem propriedades importantes e que são usadas no dia-a-dia no âmbito do Ensino Fundamental e Médio (antigos 1º e 2º graus).

Ao primeiro conjunto de axiomas que caracterizam R, denominamos de axiomas de corpo. Isto significa que R é um conjunto não vazio onde se pode definir duas operações fechadas, denominadas adição e multiplicação:

+ : RxR R (x,y) x+y

. : RxR R (x,y) x.y

que satisfazem aos seguintes axiomas:

A1)Associatividade: Quaisquer que sejam xR e yR, tem-se:

A2)Comutatividade: Quaisquer que sejam xR e yR, tem-se

A3)Elemento neutro: Existe 0R (denominado "zero"), tal que para todo xR:

A4)Simétrico: Todo elemento xR possui um simétrico -xR (também chamado oposto), tal que:

M1)Associatividade: Quaisquer que sejam xR, yR, zR, tem-se

M2)Comutatividade: Dados quaisquer xR e yR, tem-se

M3)Elemento neutro: Existe 1R (denominado "um"), tal que para todo xR, vale:

M4)Inverso multiplicativo: Todo x 0 em R possui um inverso x ^-1 R tal que

Dados xR, yR e zR, tem-se

Observemos que os axiomas A4 e M4 permitem definir, respectivamente, as operações de subtração e divisão de números reais:

- : RxR R (x,y)x-y = x+(-y)

÷ : RxR* R (x,y) x÷y = x.y-1

onde R* = R-{0}.

Observamos que, se estivermos adotando o método axiomático, então estas propriedades não serão demonstradas mas serão admitidas como verdadeiras pois são axiomas. Do ponto de vista axiomático não sabemos o que é um número real, mas quais propriedades o conjunto dos números reais satisfaz.

Vejamos agora uma conseqüência muito importante dos axiomas dos números reais, conhecida como a regra dos sinais.

Um desafio para o professor do curso Fundamental é ensinar e tentar justificar a intrigante regra dos sinais. Para algumas regras existem justificativas que chamaríamos de naturais, mas justificar porque

é complicado e o pior ainda: algumas justificativas bastante usadas são logicamente falsas, como aquela velha história de que:

No livro "Meu Professor de Matemática e outras histórias", Coleção do Professor de Matemática, SBM, 1991, Rio de Janeiro, o professor Elon Lages Lima dedica um capítulo à questão quando cita e comenta algumas sugestões encaminhadas à excelente Revista do Professor de Matemática, para explicar e justificar a regra acima citada.

Na opinião do Prof. Elon, a melhor sugestão foi a que mais se aproximou da demonstração algébrica da regra. A regra dos sinais é uma conseqüência dos axiomas de corpo, e em especial do axioma da distributividade. Vamos conhecer a demonstração através de quatro passos:

1º Passo: O simétrico de -x é x, isto é, -(-x)=x, para todo xR.

De fato:

Somando -(-x) a ambos os membros da igualdade e usando o axioma A1, obtemos:

2º Passo: x.0 = 0, para todo xR.

Com efeito,

Somando -x a ambos os membros da igualdade, obtemos,

3º Passo: (-1).x = -x, para todo xR.

Com efeito:

Logo, (-1)x é o simétrico de x, ou seja:

Tomando, em particular, x=-1, temos que

onde a última igualdade segue pelo 1^o passo.

4º Passo: Para todo xe para todo yR :

De fato:

Mostramos estes detalhes para deixar claro que a regra dos sinais é uma conseqüência dos axiomas de corpo e que algumas propriedades, por mais evidentes que possam parecer como as expressas nos 1º e 2º passos, são passíveis de demonstração.

Em Matemática (e também na vida) todo o cuidado é pouco com as chamadas coisas evidentes.

Por outro lado, o chamado rigor matemático, não pode ser aplicado em qualquer nível e seria um absurdo tentar explicar a regra dos sinais para alunos do ensino Fundamental da forma acima exposta.

Vejamos agora a sugestão do Prof. Fred Gusmão dos Santos, de Mogi das Cruzes, S.P, comentada pelo Prof. Elon no mesmo livro acima citado e que tomamos a liberdade de reproduzir.

"Como:

pela lei distributiva vem que:

Alguém poderia questionar, por que tanto esforço para fazer a demonstração algébrica, se um exemplo numérico elucida tudo ? Que resposta você daria ?

Um segundo conjunto de axiomas caracteriza o conjunto R dos números reais como um conjunto ordenado. Este fato tem conseqüências importantes com as quais o professor do Fundamental se depara a todo momento. O fato de R ser um corpo ordenado dá sentido às desigualdades, também conhecidas como inequações...

Dizer que R é um corpo ordenado é equivalente a garantir que, existe um conjunto PR, chamado de conjunto de elementos positivos de R, com as seguintes condições (axiomas) satisfeitas:

• P1: A soma e o produto de números positivos são positivos.
• P2: Dado xP , exatamente uma das três alternativas ocorrerá:
  x = 0 ou xP ou -xP

R = P (-P) {0}

Os elementos do conjunto -P são chamados números negativos.

No cotidiano, convivemos de modo bastante natural com muitos números positivos como os números naturais mas o interessante é que somente uma caracterização formal dos mesmos, através dos axiomas introduzidos anteriormente, é que permite extrair as suas propriedades.

Uma propriedade bem conhecida dos números reais e de muitas conseqüências é a seguinte que diz: Todo número real não nulo ao quadrado é positivo:

Propriedade: Para todo xR*=R-{0}, tem-se que x² = x.xP.

Dado xR* = R - {0}, temos que x P ou -xP. Se xP, pelo axioma P1:

x.xP

Se -xP, então:

(-x).(-x) = x.xP

e pela regra dos sinais, temos o resultado desejado.

Pela propriedade acima e com o uso do axioma P1, podemos construir o conjunto dos números naturais como um subconjunto dos números reais positivos, com algumas características indutivas. Vejamos:

1 . 1 = 1P

1+1 = 2P

2+1 = 3P

n+1 = (n+1)P

Assim

É claro que N está contido em P e que P está contido em R.

Observação importante: O número 0 não foi incluído no conjunto dos números naturais, pois este número foi criado artificialmente para dar significado ao conceito de nulidade (falta de um elemento) quando da criação do sistema posicional pelos hindús e este conjunto dos números naturais recebe este nome exatamente porque está relacionado com as idéias de contagem de coisas naturais como 1, 2, 3, ... Para que o interessado possa esclarecer a maioria dos detalhes concernentes ao número zero (0) e conhecer uma enorme gama de detalhes acerca dos algarismos e números, sugiro fortemente a leitura do livro de Georges Ifrah: "História Universal dos Algarismos", Tomo I (A inteligência dos homens contada pelos Números e pelo Cálculo!), 1997, Livraria Nova Fronteira.

O conjunto dos números reais é indutivo, isto é:

• Ind1: 1R
• Ind2: Para todo xR, tem-se que x+1R

Algo não óbvio e que não será feito aqui, é que o conjunto N dos números naturais, num certo sentido, é o menor subconjunto indutivo de R que possui a propriedade muito importante conhecida como o

Se X é um subconjunto do conjunto dos números naturais N, tal que:

1. 1X
2. Se nX, então (n+1)X, para todo n>1

Quando introduzimos o conjunto dos números reais pelo método construtivo, é usual iniciar pela construção axiomática dos números naturais. Neste caso, o princípio da indução finita é conhecido como o 3º axioma de Peano. O que importa é que ele é válido e de grande utilidade.

Vejamos um exemplo da aplicação do Princípio da Indução Finita.

Provaremos que a soma dos n primeiros números naturais pode ser escrita como o semiproduto de n por n+1, isto é:

Para todo nN, vale a igualdade:

Demonstração: Consideremos X como o subconjunto dos números naturais tal que P(n) seja válida.

Temos que, 1X, pois para n=1, a igualdade P(1) se reduz a:

Suponhamos que nX (chamada Hipótese de Indução).

Mostraremos que é válida a propriedade P(n+1), o que equivalente a mostrar que (n+1)X. Realmente:

(1+2+3+...+n)+(n+1) =

=(1+2+3+...+n) + (n+1)
=n.(n+1)/2 + (n+1)
=(n+1).[n/2 + 1]
=(n+1).(n+2)/2

e esta igualdade corresponde exatamente a P(n+1) e dessa forma X é o próprio conjunto N, ou seja, P(n) é válida para todo nN.

Exercício: Mostrar que são verdadeiras as seguintes proposições:

1. P(n): 1 ² + 2 ² + 3 ² + ... + n ² = n.(n+1).(2n+1) / 6
2. P(n): 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = n ². (n+1) ² / 4
3. P(n): 1 ⁴ + 2 ⁴ + ... + n ⁴ = n.(n+1).(6 n³ + 9 n² + n - 1) / 30
4. P(n): 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n-1 ) = n ²

Já vimos que o conjunto N dos naturais é um subconjunto do conjunto dos números reais positivos. Levando em consideração a definição dos números positivos P e dos números negativos -P, obtemos o conjunto dos números inteiros

Z = { ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... } = -N {0} N

Observação: A letra Z utilizada para representar o conjunto dos números inteiros, provem da palavra alemã "Zahl" que significa número ou algarismo.

Tomando o axioma M4, que afirma que todo número real diferente de zero, possui um inverso multiplicativo, temos o conjunto dos números racionais, que é um outro subconjunto muito importante do conjunto dos números reais:

Q = { a/b : aZ, bZ, b 0}

Observação: A palavra racional vem do Latim ratio=razão também entendida em Matemática como divisão. Usamos livremente a barra "/" para entender o sinal de divisão ÷.

Exemplos de números racionais:

O conjunto I dos números Irracionais é o conjunto dos números reais que não são racionais:

Embora os números racionais e os irracionais sejam apresentados como conceitos simples, às vezes não é fácil verificar se um determinado número real x é racional ou irracional.

Sempre nos exibiram números como

= 1,414...
e = 2,71828...
= 1,732...
Pi = 3,14159265...
a = 0,10100100010000...

como exemplos de números irracionais, mas provar que estes números são irracionais, é uma outra história muito mal contada. Observamos que a escola de Pitágoras (580-500 a.C) já sabia que não existia um número racional x com a propriedade que:

Observação: Lembramos que estamos introduzindo os números reais diretamente, apresentando um conjunto de axiomas que os caracterizam e verificamos que este conjunto deve conter os números naturais, os números inteiros, os números racionais e também os números irracionais.

No Ensino Fundamental, a criança começa tomando contato com os números naturais, depois com os números inteiros, em seguida com os números racionais, ...

Observações sobre os números racionais e irracionais

1. O conjunto dos números racionais é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero), isto é, para todo x Q e y Q:
   • x + y Q
   • x - y Q
   • x . y Q
   • x / y Q se y 0
   
   
2. O conjunto dos números irracionais não é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, pois podemos apresentar exemplos de números irracionais para os quais estas operações não são fechadas em I:
   • I, - I mas ( ) + ( - ) = 0 Q
   • I, I mas ( ) - ( ) = 0 Q
   • I, I mas (). () = 2 Q
   • I, I mas () / () = 1 Q
   
   
3. Se a é um número irracional e r é um número racional, então, os números abaixo são irracionais, isto é:
   • -a I
   • a^-1 I
   • a + r I
   • a - r I
   • a . r I
   • a / r I
   
   
4. Um polinômio de grau n N é uma expressão matemática da forma:
   p _n(x) = c_n xⁿ + c_n-1 x^n-1 + ... + c₂ x² + c₁ x¹ + c₀
   onde c_n é diferente de zero;

5. Uma equação polinomial de grau n N na variável x é uma expressão matemática da forma:
   c_n xⁿ + c_n-1 x^n-1 + ... + c₂ x² + c₁ x¹ + c₀ = 0
   sendo c_n 0, c_n-1 , ..., c₂, c₁, c₀ os seus coeficientes.

6. A raiz de uma equação na variável x é um número que substituído por x, satisfaz à equação dada;

7. Consideremos a equação
   c_n xⁿ + c_n-1 x^n-1 + ... + c₂ x² + c₁ x¹ + c₀ = 0
   Se esta equação tem como coeficientes somente números inteiros, e se esta equação tiver uma raiz racional irredutível da forma a/b (cuja fração não pode ser simplificada mais), então a será um divisor de c_o e b será um divisor de c_n.

8. Como um caso particular do item anterior, se a equação possuir o coeficiente igual a 1 para o termo de mais alto grau, isto é:
   1 . xⁿ + c_n-1 x^n-1 + ... + c₂ x² + c₁ x¹ + c_o = 0
   e esta equação somente tiver como coeficientes números inteiros e possuir uma raiz racional, então esta raiz deverá ser um número inteiro que divide c_o

Observação: Com os oito itens apresentados acima, podemos construir um conjunto enorme de números irracionais.

Observação: No Curso Médio estuda-se o conjunto dos números complexos, que é mais amplo que todos os conjuntos tratados até aqui. Um grande equívoco é pensar que as teorias destes conjuntos tenha sido feita, de uma forma acabada, nesta mesma ordem que estamos apresentando. É importante mencionar, que no século XVI, os matemáticos já lidavam com números complexos. O método de Tartaglia (publicado no livro Ars Magna como sendo de Cardano) para a resolução de equações do terceiro grau, foi o grande elemento motivador para o estudo destes números e também de equações algébricas. Mas foi somente no final do século XIX que a teoria de cada um destes conjuntos ficou consolidada.

Voltemos novamente ao conjunto dos números positivos para estabelecer duas convenções muito importantes.

1ª) Dado x R, escrevemos:

• x > 0, se x P (x é positivo)
• x < 0, se -x P (x é negativo)
• x > 0, se x P ou x = 0 (x é não negativo)
• x < 0, se -x P ou x = 0 (x é não positivo)

• x > y, se x-y > 0 (x é maior do que y)
• x < y, se x-y < 0 (x é menor do que y)
• x > y, se x-y > 0 (x é maior ou igual a y)
• x < y, se x-y < 0 (x é menor ou igual a y)

Intervalos finitos
Com estas últimas convenções podemos definir os conceitos de intervalo e da importante função modular.

(a,b) = {x R: a < x < b}
[a,b] = {x R: a < x < b}
(a,b] = {x R: a < x < b}
[a,b) = {x R: a < x < b}

Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades finitas, pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e um círculo preenchido onde vale a igualdade.

Intervalos infinitos
Consideremos inf = infinito. Define-se o intervalo (a,+inf) como o conjunto de todos os números reais maiores do que a, isto é:

(a,+inf) = {x R: x > a}        (-inf,a) = {x R: x < a}

[a,+inf) = {x R: x > a}        (-inf,a] = {x R: x < a}

e uma notação comum é:

O módulo (valor absoluto) de um número real x, é definido como sendo o maior valor entre x e -x, isto é:

Exemplos:|+5| = 5 e |-6| = 6.

O conceito de módulo de um número real desempenha um papel de fundamental importância na Análise Matemática e são valiosas algumas relações de igualdade e desigualdade onde aparecem os módulos.

Teorema: Quaisquer que sejam x R, y R, tem-se que:

• |+x| = |-x|
• |x-y| = |y-x|
• |x.y| = |x|.|y|
• -|x| < x < |x|
• |x+y| < |x| + |y|
• |x-y| < |x| + |y|

O conceito de módulo de um número real permite introduzir o conceito de distância entre dois números reais e caracterizar o conceito de proximidade entre dois números reais.

Dados x R, y R, define-se a distância entre x e y como:

Exemplo: d(-3,+7)=|(-3)-(7)|=|-10|=10.

Através das desigualdades podemos construir a relação de ordem total:

construída em R, tendo as seguintes propriedades:

• Reflexiva: Para todo x R:
  x < x

• Anti-simétrica: Se x < y e y < x, então:
  x=y

• Transitiva:Se x < y e y < z, então:
  x < z

• Dicotomia: Dados x R e x R, ocorre exatamente uma das duas alternativas seguintes:
  x < y ou x > y

• Monotonicidade da adição: Se x < y então, para todo z R, tem-se:
  x+z < y+z

• Monotonicidade da multiplicação: Se x < y então, para todo z > 0, tem-se:
  x.z < y.z

  mas se z < 0, então x < y implica:

  x.z > y.z

A última propriedade é muitas vezes motivo de tropeços para muitos alunos e professores, em especial na resolução de desigualdades.

Pela sua importância, faremos a sua demonstração.

Se x=yR e z=0, a relação é verdadeira, pois

Assim:

y-x P e z P

Pela propriedade P1, temos:

(y-x).z P

e pela propriedades distributiva:

y.z-x.z P

É o conjunto de todos os valores que satisfazem à proposição dada, sendo que este conjunto depende do universo que estivermos trabalhando.

Exemplo: Consideremos

mas o conjunto solução no conjunto N dos números naturais é um conjunto unitário, dado por:

Dada uma desigualdade, é importante obter o conjunto colução S que satisfaz esta desigualdade, isto é, obter o conjunto de todos os números reais que satisfazem à desigualdade dada e indicar o resultado na forma de um intervalo real ou através da reunião ou interseção de intervalos reais.

Exemplo1: Resolver a desigualdade real 5x + 15>0.

Com as propriedades dos números reais, tem-se que

S=(-3,+8) = {x R: -3 < x < 8}

Exemplo2: Resolver a(s) desigualdade(s) abaixo sobre o conjunto dos números reais: 12 < 5x+15 < 25

Pelas propriedades dos números reais

S=(-3/5,2] = {x R: -3/5 < x < 2}

A relação de ordem total x < y se y-x > 0 que existe em R e o fato de R ser completo, permitem identificar o conjunto dos números reais com os pontos de uma reta, fato conhecido por representação gráfica da reta real.

Esta representação é uma linha reta onde se identifica um ponto, chamado origem, com o número zero (0) e outro ponto, tomado por unidade, com o número um (1) e a partir daí indicam-se os outros valores numéricos, dependendo de sua grandeza em relação à unidade.

Existe um terceiro axioma que caracteriza o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo.

Deste axioma é possível obter as propriedades mais importantes do Cálculo e na verdade, se este fato não fosse verdadeiro, pouco restaria dos conhecidos Teoremas do Cálculo Diferencial e Integral.

Infelizmente, o enunciado deste axioma exige tantos requisitos que ele só pode (e deve) ser trabalhado com cuidado em um curso mais avançado de Cálculo Diferencial e Integral ou Análise Matemática.

Mostraremos aqui algumas conseqüências deste axioma, como por exemplo, o conceito de raiz quadrada.

Por R ser completo um fato importantíssimo é o seguinte: Dado um número real não negativo a, existe um único número real não negativo x tal que

Por definição, este número real não negativo é a raiz quadrada de a e dessa forma, dado a>0, define-se a raiz quadrada de a, como:

se x>0 e x desde que x>0 e x²=a.

Portanto:

e é errado afirmar que

Uma conseqüência desta definição e da definição de módulo de um número real, é a seguinte:

Dado um número real x qualquer, podemos redefinir então o módulo de um número real de uma terceira forma, através do uso da raiz quadrada. Você conseguiria fazer isto?

O conceito de raiz quadrada leva-nos sem problemas às funções:

f:[0,+inf)R definida por

f:[0,+inf)R definida por

De forma análoga podemos definir a raiz n-ésima de um número real não negativo a, como:

se e somente se b > 0 e bⁿ = a.

Observação: Todo número b que pode ser representado na forma , onde a e n são números naturais, deve ser necessariamente um número inteiro ou um número irracional.

1. Halmos, P.R. Teoria Ingênua dos Conjuntos. Edit.Polígono, S.Paulo, 1970.
2. Niven, I. Números Racionais e Irracionais, Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio, 1984.
3. White, A. J. Análise Real: uma introdução. EDUSP,S.Paulo, 1973.