Matematica Essencial: Somas das potencias dos n primeiros numeros naturais MatemáticaEssencial Ensino Superior Somas de Def. e Exemplos de Sequências Outras notações para sequências Somas de termos de sequências Soma com os termos iguais Soma dos n primeiros naturais Soma dos quadrados 1os.naturais Soma dos cubos dos 1os.naturais Projetos: Soma dos quárticos dos n primeiros números naturais Soma das k-ésimas dos n primeiros naturais Pesquisar todas as fórmulas usadas neste trabalho Definição de Sequência de números reais Consideremos N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } o conjunto dos números naturais. Uma sequência de números reais é uma função f:NR que associa a cada número natural n um único número real f(n)=un. Exemplos de algumas sequências reais fo(n) = no f1(n) = n1 f2(n) = n2 f3(n) = n3 f4(n) = n4 Outras notações para sequências Muitas vezes tais sequências são indicadas, respectivamente, pelos conjuntos que representam as imagens dessas (funções) sequências, como por exemplo: So = { 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... } = fo(N) S1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } = f1(N) S2 = { 1, 4, 9, 16 , 25, ... } = f2(N) S3 = { 1, 8, 27, 64, 125,... } = f3(N) S4 = { 1, 16, 81, 256, 625, ...} = f4(N) Outra representação para tais sequências é a que indica a posição relativa ocupada pelo número real no conjunto imagem da referida função. Por exemplo, a sequência definida pela função f3, pode ser escrita como: u1=1, u2=8, u3=:7, u4=64, u5=125, ..., un=n3, ... Somas de termos de sequências Um problema que aparece ligado a sequências é o que visa obter a soma dos n primeiros termos de uma sequência de números reais. Tal problema não é simples de uma forma geral, mas existe um processo muito interessante do ponto de vista didático para obter a soma das n primeiras dos números naturais. Apresentarei um processo gradual para mostrar como calcular a: Soma das de ordem 0 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais Com o estudo de sequências recursivas, é possível construir fórmulas que fornecem as somas em cada caso. Não apresento as demonstrações das fórmulas, uma vez que é exatamente o corpo do último assunto tratado nesta página. Soma de n termos constantes iguais a 1 (Caso 0) jo (j=1..n) Consideremos inicialmente o problema de obter a Soma das de(ordem 0 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar o número 1, n vezes, isto é: Sn = 1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (n vezes) Você diria: "Essa é fácil e a resposta é Sn = n". Neste caso você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ensinar um método que funciona para outras mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional. Principalmente na área da Matemática, que muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas! Para a resolução do problema posto é necessário construir uma tabela da forma: n12345 ...n SnS1=1S2=2S3=3S4=4 S5=5...Sn=n Como afirmamos antes, a fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 = S2 Este sistema pode ser escrito na forma matricial: 1 0 · Bo = S1 1 11 B1 S2 A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo = 1 B1 = 1 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + 1 (n-1) = n que era a resposta antecipada para o problema. Soma dos n primeiros números naturais (Caso 1) j1 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
dos n primeiros naturais
Consideremos N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } o conjunto dos números naturais. Uma sequência de números reais é uma função f:NR que associa a cada número natural n um único número real f(n)=un.
Exemplos de algumas sequências reais
Muitas vezes tais sequências são indicadas, respectivamente, pelos conjuntos que representam as imagens dessas (funções) sequências, como por exemplo:
Um problema que aparece ligado a sequências é o que visa obter a soma dos n primeiros termos de uma sequência de números reais.
Tal problema não é simples de uma forma geral, mas existe um processo muito interessante do ponto de vista didático para obter a soma das n primeiras dos números naturais. Apresentarei um processo gradual para mostrar como calcular a: Soma das de ordem 0 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais Com o estudo de sequências recursivas, é possível construir fórmulas que fornecem as somas em cada caso. Não apresento as demonstrações das fórmulas, uma vez que é exatamente o corpo do último assunto tratado nesta página. Soma de n termos constantes iguais a 1 (Caso 0) jo (j=1..n) Consideremos inicialmente o problema de obter a Soma das de(ordem 0 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar o número 1, n vezes, isto é: Sn = 1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (n vezes) Você diria: "Essa é fácil e a resposta é Sn = n". Neste caso você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ensinar um método que funciona para outras mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional. Principalmente na área da Matemática, que muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas! Para a resolução do problema posto é necessário construir uma tabela da forma: n12345 ...n SnS1=1S2=2S3=3S4=4 S5=5...Sn=n Como afirmamos antes, a fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 = S2 Este sistema pode ser escrito na forma matricial: 1 0 · Bo = S1 1 11 B1 S2 A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo = 1 B1 = 1 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + 1 (n-1) = n que era a resposta antecipada para o problema. Soma dos n primeiros números naturais (Caso 1) j1 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
dos números naturais. Apresentarei um processo gradual para mostrar como calcular a: Soma das de ordem 0 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais Com o estudo de sequências recursivas, é possível construir fórmulas que fornecem as somas em cada caso. Não apresento as demonstrações das fórmulas, uma vez que é exatamente o corpo do último assunto tratado nesta página. Soma de n termos constantes iguais a 1 (Caso 0) jo (j=1..n) Consideremos inicialmente o problema de obter a Soma das de(ordem 0 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar o número 1, n vezes, isto é: Sn = 1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (n vezes) Você diria: "Essa é fácil e a resposta é Sn = n". Neste caso você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ensinar um método que funciona para outras mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional. Principalmente na área da Matemática, que muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas! Para a resolução do problema posto é necessário construir uma tabela da forma: n12345 ...n SnS1=1S2=2S3=3S4=4 S5=5...Sn=n Como afirmamos antes, a fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 = S2 Este sistema pode ser escrito na forma matricial: 1 0 · Bo = S1 1 11 B1 S2 A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo = 1 B1 = 1 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + 1 (n-1) = n que era a resposta antecipada para o problema. Soma dos n primeiros números naturais (Caso 1) j1 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
Apresentarei um processo gradual para mostrar como calcular a:
de ordem 0 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais
de ordem 1 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais
de ordem 2 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais
de ordem 3 dos n primeiros naturais Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais
de ordem 4 dos n primeiros naturais
Consideremos inicialmente o problema de obter a Soma das de(ordem 0 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar o número 1, n vezes, isto é: Sn = 1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (n vezes) Você diria: "Essa é fácil e a resposta é Sn = n". Neste caso você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ensinar um método que funciona para outras mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional. Principalmente na área da Matemática, que muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas! Para a resolução do problema posto é necessário construir uma tabela da forma: n12345 ...n SnS1=1S2=2S3=3S4=4 S5=5...Sn=n Como afirmamos antes, a fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 = S2 Este sistema pode ser escrito na forma matricial: 1 0 · Bo = S1 1 11 B1 S2 A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo = 1 B1 = 1 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + 1 (n-1) = n que era a resposta antecipada para o problema. Soma dos n primeiros números naturais (Caso 1) j1 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
de(ordem 0 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar o número 1, n vezes, isto é: Sn = 1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (n vezes) Você diria: "Essa é fácil e a resposta é Sn = n". Neste caso você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ensinar um método que funciona para outras mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional. Principalmente na área da Matemática, que muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas! Para a resolução do problema posto é necessário construir uma tabela da forma: n12345 ...n SnS1=1S2=2S3=3S4=4 S5=5...Sn=n Como afirmamos antes, a fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 = S2 Este sistema pode ser escrito na forma matricial: 1 0 · Bo = S1 1 11 B1 S2 A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo = 1 B1 = 1 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + 1 (n-1) = n que era a resposta antecipada para o problema. Soma dos n primeiros números naturais (Caso 1) j1 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
Você diria: "Essa é fácil e a resposta é Sn = n". Neste caso você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ensinar um método que funciona para outras mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional. Principalmente na área da Matemática, que muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas! Para a resolução do problema posto é necessário construir uma tabela da forma: n12345 ...n SnS1=1S2=2S3=3S4=4 S5=5...Sn=n Como afirmamos antes, a fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 = S2 Este sistema pode ser escrito na forma matricial: 1 0 · Bo = S1 1 11 B1 S2 A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo = 1 B1 = 1 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + 1 (n-1) = n que era a resposta antecipada para o problema. Soma dos n primeiros números naturais (Caso 1) j1 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
mais altas. Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional. Principalmente na área da Matemática, que muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas! Para a resolução do problema posto é necessário construir uma tabela da forma: n12345 ...n SnS1=1S2=2S3=3S4=4 S5=5...Sn=n Como afirmamos antes, a fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 = S2 Este sistema pode ser escrito na forma matricial: 1 0 · Bo = S1 1 11 B1 S2 A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados: Bo = 1 B1 = 1 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + 1 (n-1) = n que era a resposta antecipada para o problema. Soma dos n primeiros números naturais (Caso 1) j1 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
Vale a pena andar com os pés no chão quando se trata de assunto educacional. Principalmente na área da Matemática, que muitos têm verdadeiro horror por causa de péssimos professores que "espantam" os alunos do real objetivo da Matemática, que é propiciar a ampliação cultural e intelectual do indivíduo de uma forma firme e agradável e não através de uma infinidade de operações de cálculos que conduzem a absolutamente nada e muitas vezes sem justificativas!
Para a resolução do problema posto é necessário construir uma tabela da forma:
Como afirmamos antes, a fórmula neste caso é dada por:
Este sistema pode ser escrito na forma matricial:
A resolução do sistema acima com 2 equações e 2 incógnitas nos fornece os resultados:
Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos:
que era a resposta antecipada para o problema.
Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
de ordem 1 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os n primeiros números naturais, isto é: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Carl Friedrich Gauss1777-1855 Considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Foi uma criança prodígio e frequentou a escola em Brunswick. Gauss aos 10 anos de idade, teve um professor exigente que um dia, visando manter a classe ocupada, pediu que os alunos somassem todos os números de 1 até 100 com a instrução para que todos os alunos colocassem a sua lousa sobre a mesa, tão logo a tarefa estivesse terminada. Quase imediatamente Gauss colocou a sua lousa sobre a mesa, dizendo: Aí está e o professor olhou para Gauss com pouco caso enquanto os outros trabalhavam. Quando o mestre finalmente se interessou em ver os resultados, a lousa de Gauss era a única a exibir a resposta certa 5050, sem nenhum cálculo. O menino calculou a soma pondo-a na forma invertida e observando que a soma do primeiro com último dava 101, que a soma do segundo com o penúltimo também dava 101 e assim sucessivamente: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 mas 2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100 logo S=5050 "Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter: Sn=n(n+1)/2 De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
Antes de continuar, iremos apresentar um fato interessante que vale a pena lembrar sobre um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
1777-1855
S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2S = 101 + 101 + ... + 101 (100 vezes) 2S = 101 x 100 = 10100
S=5050
"Esta soma também é fácil e poderíamos repetir o que Gauss fez quando tinha 10 anos". Se no lugar de somar de 1 até 100, tivéssemos que somar de 1 até n, bastaria usar o mesmo processo de Gauss para obter:
De novo você tem razão, mas o que eu pretendo aqui é ampliar o ensinamento apresentado no Caso 0 e que funciona para o Caso 1 e para outras mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
mais altas. n1234... n SnS1=1 S2=1+2=3S3=1+2+3=6 S4=1+2+3+4=10... Sn=1+2+3+4+...+n A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2= S2 1Bo + 2B1 + 4B2= S3 Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Tal sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 Bo S1 1 11 12 · B1 = S2 1 21 22 B2 S3 A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 3/2 B2 = 1/2 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (3/2).(n-1) + 1/2).(n-1)2 Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado: Sn = n.(n+1)/2 Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais (Caso 2) j2 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
A fórmula neste caso é dada por:
Observe a semelhança entre a fórmula do Caso 0 e a fórmula do Caso 1. Houve o aparecimento de uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.
Tal sistema pode ser posto na forma matricial:
A resolução do sistema acima com 3 equações e 3 incógnitas nos dá como resultado:
Desenvolvendo tal expressão, obtemos o resultado esperado:
Um homem que quer evoluir não deve parar no primeiro exemplo e nem deve acreditar que daí para a frente tudo funcionará bem.
Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
de ordem 2 dos n primeiros naturais. Tal situação equivale a somar os quadrados dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
Julgo que nem todos achariam a resposta facilmente, mas vamos ampliar o método do Caso anterior e que funciona para outras mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
mais altas. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+4 = 5 3S3 = 1+4+9 = 14 4S4 = 1+4+9+16 = 30 ...... nSn = 1+22+32+42+...+n2 A fórmula neste caso é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 onde 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 = S4 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. Este sistema pode ser posto na forma matricial: 1 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 B1 S2 1 21 22 23 · B2 = S3 1 31 32 33 B3 S4 A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado: Bo = 1 B1 = 13/6 B2 = 3/2 B3 = 1/3 Substituindo tais constantes na nossa fórmula, teremos: Sn = 1 + (13/6).(n-1) + (3/2).(n-1)2 + (1/3).(n-1)3 Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado: Sn = n.(n+1)(2n+1)/6 Soma dos cubos dos n primeiros naturais Caso 3: j3 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Houve o aparecimento de mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.
Este sistema pode ser posto na forma matricial:
A resolução do sistema acima com 4 equações e 4 incógnitas nos dá como resultado:
Desenvolvendo tal expressão, obteremos o resultado:
Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
de ordem 3 dos n primeiros naturais, o que equivale a somar os cubos dos n primeiros números naturais, isto é: Sn = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior. nSn 1S1 = 1 2S2 = 1+8 = 9 3S3 = 1+8+27 = 36 4S4 = 1+8+27+64 = 100 5S5 = 1+8+27+64+125 = 225 ...... nSn = 1+23+33+43+...+n3 A fórmula aqui é dada por: Sn = Bo + B1(n-1) + B2(n-1)2 + B3(n-1)3 + B4(n-1)4 O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas: 1Bo = S1 1Bo + 1B1 + 1B2 + 1B3 + 1B4 = S2 1Bo + 2B1 + 4B2 + 8B3 + 16B4 = S3 1Bo + 3B1 + 9B2 + 27B3 + 81B4 = S4 1Bo + 4B1 + 16B2 + 64B3 + 256B4 = S5 Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4. Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais. Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é: 1 0 0 0 0 Bo S1 1 11 12 13 14 B1 S2 1 21 22 23 24 · B2 = S3 1 31 32 33 34 B3 S4 1 41 42 43 44 B4 S5 Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n) Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
Também aqui não é simples. Vamos ampliar o método do Caso anterior.
A fórmula aqui é dada por:
O sistema aqui tem 5 equações e 5 incógnitas:
Observe a semelhança com as fórmulas dos casos anteriores. Apareceu mais uma constante multiplicada por um termo semelhante ao anterior com potência mais alta.
A resolução do sistema deve ser realizada para obter os cinco (5) coeficientes Bo, B1, B2, B3 e B4.
Ao substituir tais constantes na nossa fórmula, você terá a fórmula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais.
Antes de propor o Projeto, quero observar que o sistema linear que obtivemos neste último caso com 5 equações e 5 incógnitas, posto na forma matricial, é:
Projeto 1 - Caso 4: j4 (j=1..n)
Consideremos agora o problema de obter a Soma das de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
de ordem 4 dos n primeiros naturais. Sn = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 A fórmula aqui é: Sn =Bo+B1(n-1)+B2(n-1)2+B3(n-1)3+B4(n-1)4+B5(n-1)5 O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como: 1 0 0 0 0 ? Bo S1 11 12 13 14 15 ? B1 S2 1 21 22 23 24 ? · B2 = S3 1 31 32 33 34 ? B3 S4 1 41 42 43 44 ? B4 S5 ? ? ? ? ? ? ? ? Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como: nSn 1S1 = 2S2 = 3S3 = 4S4 = 5S5 = 6S6 = ...... nSn = 1+24+34+44+...+n4 Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso: A 1a. linha permaneceu a mesma; A 2a. linha tem uma nova constante, sendo que os coeficientes são sempre iguais a 1; A 3a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação. A resolução do sistema deve ser realizada para obter os seis (6) coeficientes Bo, B1, B2, B3, B4 e B5. Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada. Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n) Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
A fórmula aqui é:
O seu sistema terá 6 equações e 6 incógnitas e na forma matricial será algo como:
Você necessitará obter pelo menos as seis (6) primeiras somas: S1, S2, S3, S4, S5 e S6 logo, deverá construir uma tabela como:
Observar as seguintes mudanças de um caso para o caso seguinte, visando a construção deste caso:
sucessivas de dois (2); A 4a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação.
sucessivas de três (3); A 5a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação.
sucessivas de quatro (4); A 6a. linha tem a nova constante com os coeficientes construidos por sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação.
sucessivas de cinco (5); Depois do sinal de igualdade, sempre aparecerão as somas S1, S2, S3, S4, S5 e S6, a partir da primeira equação.
Observação importante: Se na resolução do sistema forem utilizados valores aproximados ao invés de valores exatos (na forma fracionária), obteremos uma fórmula errada.
Projeto 2 - Caso k: jk (j=1..n)
Obtenha a Soma das de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
de ordem k dos n primeiros números naturais. Sn = 1k + 2k + 3k + 4k + ... + nk Projeto 3 Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000. [matweb/superior/somapot/inclusao_dasecretaria.htm]
Como um trabalho de pesquisa, descubra as fórmulas que apresentei neste trabalho, usando livros que tratam sobre sequências e séries.