Funções exponenciais

A função exponencial é uma das mais importantes da Matemática. Esta função é definida por f:RR através de f(t)=exp(t) ou

No plano R², podemos obter a reflexão do gráfico desta função em relação ao eixo OY, que nos dá outra função exponencial g:RR definida por g(t)=exp(-t) ou

Os gráficos destas funções podem ser vistos abaixo.

Observamos que tais funções são positivas. f(t)=e^t (cor preta) é crescente e g(t)=e^-t (cor vermelha) é decrescente.

Com estas funções, definimos outras funções da Matemática bastante utilizadas nas ciências em geral, inclusive na própria Matemática.

As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por:

A função cosh é positiva, enquanto que senh é positiva para parâmetros positivos reais, negativos para parâmetros negativos reais e se anula em t=0. Com estas duas funções cosh(cor preta) e senh(cor vermelha), também podemos definir outras funções da Matemática.

Aplicação: Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele fique meio arredondado, dando a impressão que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a catenária (do Latim catena=cadeia) pois foi através de uma corrente metálica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva.

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, são respectivamente definidas por:

tanh(t) = senh(t)/cosh(t)
coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)
csch(t) = 1/senh(t)

Ao tomar a diferença dos quadrados das funções cosh e senh, obtemos:

e temos que

que é uma relação notável na Trigonometria hiperbólica.

Na construção da trigonometria circular, esta é realizada sobre uma circunferência de raio unitário, dada por:

Tomando x=cos(t) e y=sen(t), observamos a relação fundamental da trigonometria circular:

onde t é o ângulo (tomado em radianos).

Na construção da trigonometria hiperbólica, usamos uma curva denominada hipérbole, representada por:

Tomando x=cosh(t) e y=senh(t), observamos a relação fundamental da trigonometria hiperbólica:

onde t é um parâmetro real que pode ser interpretado geometricamente.

Praticamente todas as propriedades da trigonometria circular podem ser transladadas para a trigonometria hiperbólica, com o cuidado de observar muitas vezes a troca do sinal de + pelo sinal de -.

Para as derivadas, temos a tabela:

É possível definir a função inversa de cosh, que será identificada por arccosh, assim como de todas as outras funções trigonométricas hiperbólicas. O procedimento é semelhante em todos os seis casos.

Se

poderemos extrair o valor de w na expressão acima, denotando-o por qualquer uma das duas formas abaixo:

Pela definição dada na parte inicial desta página, segue que:

Tomando momentaneamente e^w=x, teremos:

Resolvendo esta equação do 2o. grau em x e usando a notação R[z]=raiz quadrada de z>0, teremos:

Aplicando o logaritmo natural a ambos os termos da igualdade, obtemos:

Assim, a função inversa de cosh é a função definida por:

1. Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:
   

   teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho facilitado! A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria circular

   cos²(t) + sen²(t) = 1
   cos²(t) - sen²(t) = cos(2t) nos dá: C + S = Pi/2
   C - S = 0 logo C = S = Pi/4

2. Aplicação: Já sabemos do Ensino Fundamental que a área do círculo envolvido pela circunferência x²+y²=r² é Área=Pi.r². Podemos obter tal resultado através de uma integral com uma substituição trigonométrica.

   Inicialmente devemos explicitar o valor de y (na curva dada) em função de x e considerar esta função no primeiro quadrante para obter:

   y(x) = R[r²-x²],   (0<x<r)

   A integral dessa função no intervalo [0,r] nos fornece a área A que corresponde à área da quarta parte do círculo. Usando a mudança de variáveis x=r.sen(t), dx=r.cos(t).dt, obteremos:

   
   

3. (Já vi isto antes!) Para calcular separadamente, por métodos comuns, cada uma das integrais:
   

   teremos dificuldades, mas se calcularmos as duas ao mesmo tempo, teremos o nosso trabalho muito facilitado! A soma e a diferença dessas duas integrais juntamente com as relações da Trigonometria hiperbólica

   cosh²(t) - senh²(t) = 1
   cosh²(t) + senh²(t) = cosh(2t)

   nos dá:

   U - V = x
   U + V = (1/2)senh(2x) = senh(x).cosh(x)

   logo

   U = (x+senh(x).cosh(x)) / 2
   V = (-x+senh(x).cosh(x)) / 2

4. Aplicação: Para obter a área da região do primeiro quadrante localizada sob a hipérbole x²-y²=1, acima do eixo OX e à esquerda da reta t=x, devemos realizar a integral com uma substituição trigonométrica hiperbólica.

   Inicialmente devemos explicitar o valor de y (na curva dada) em função de x e considerar esta função no primeiro quadrante para obter:

   y(t) = R[t²-1],   (1<t<x)

   A integral dessa função no intervalo [1,x] nos fornece:

   Área = int(y(t),t=0..x)
   Área = int(R[t²-1],t=1..x)
   

   Realizando a mudança de variáveis t=cosh(v), teremos a integral indefinida:

   V = int(R[cosh²(v)-1]) = int(senh²(v))
   V = (-v + senh(v).cosh(v)) / 2

   Voltando às variáveis originais, poderemos escrever:

   V = (-arc cosh(t) + R[t²-1].t) / 2

   Desse modo, a área desejada será dada por:

   Área = [-arc cosh(x) + R[x²-1].x] / 2
   Área = [-log(x+R[x²-1]) + R[x²-1].x] / 2