Matematica Essencial: Zero elevado a zero MatemáticaEssencial Ensino Superior Quanto vale 0o ? A expressão matemática 0o é muitas vezes considerada como uma forma indeterminada em Matemática. Outras vezes esta expressão é considerada, por convenção, como sendo igual a 1. Por exemplo, ela aparece quando se calcula o limite: Lim f(x)g(x) quando x tende a 0 e Lim f(x) = Lim g(x) = 0. Uma forma indeterminada é o valor numérico que pode ser atribuído ao limite de uma função h=h(x) quando se substitui a variável x pelo valor numérico onde o mesmo será calculado, sem haver um trabalho mais aprimorado com a expressão envolvida com a função h=h(x). Algumas das principais formas indeterminadas são: 0/00.infinf/inf 1inf inf - inf0o onde inf significa "infinito". Várias destas formas indeterminadas podem ser estudadas com o auxílio da Regra de L'Hôpital. Observa-se que a função real f(x)=xx possui uma descontinuidade em x=0, razão pela qual não é óbvio que se tenha que f(0) = Lim f(x) = Lim xx quando x tende a 0. Pode ser que, até mesmo este limite seja determinado e igual a 1 (o que é uma escolha natural), indeterminado ou nem mesmo exista. Quando estamos calculando Lim f(x)g(x) com x tendendo a 0 e lim f(x) = Lim g(x) = 0, devemos fazer algumas exigências sobre as funções f e g. Como a Regra de L'Hôpital tem íntima relação com o fato de uma f função ter desenvolvimento em série de (f ser analítica) em torno do ponto onde se calcula o limite, fica claro que quando esta propriedade é satisfeita nas vizinhanças deste ponto, então quase sempre é possível garantir que 0o=1. Sem esta propriedade nada podemos afirmar. O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=e-1/x se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de em torno de x=0) e g(x)=x. Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas: Lim f(x)g(x) = Lim {e-1/x}x=1/e = 0,3679... que obviamente não é igual a 1. Se substituirmos o número de Euler e por 2, teremos um resultado diferente, o que significa que poderemos encontrar o limite que desejarmos ter, logo este limite é indeterminado. Assim, quando x tende a 0 e Lim f(x) = 0 = Lim g(x), o limite Lim f(x)g(x) = ??? e nem mesmo podemos afirmar que 0o possa ser igual a 1. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000.
quando x tende a 0 e Lim f(x) = Lim g(x) = 0.
Uma forma indeterminada é o valor numérico que pode ser atribuído ao limite de uma função h=h(x) quando se substitui a variável x pelo valor numérico onde o mesmo será calculado, sem haver um trabalho mais aprimorado com a expressão envolvida com a função h=h(x).
Algumas das principais formas indeterminadas são:
onde inf significa "infinito".
Várias destas formas indeterminadas podem ser estudadas com o auxílio da Regra de L'Hôpital.
Observa-se que a função real
possui uma descontinuidade em x=0, razão pela qual não é óbvio que se tenha que
quando x tende a 0.
Pode ser que, até mesmo este limite seja determinado e igual a 1 (o que é uma escolha natural), indeterminado ou nem mesmo exista.
Quando estamos calculando
com x tendendo a 0 e lim f(x) = Lim g(x) = 0, devemos fazer algumas exigências sobre as funções f e g.
Como a Regra de L'Hôpital tem íntima relação com o fato de uma f função ter desenvolvimento em série de (f ser analítica) em torno do ponto onde se calcula o limite, fica claro que quando esta propriedade é satisfeita nas vizinhanças deste ponto, então quase sempre é possível garantir que 0o=1. Sem esta propriedade nada podemos afirmar. O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=e-1/x se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de em torno de x=0) e g(x)=x. Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas: Lim f(x)g(x) = Lim {e-1/x}x=1/e = 0,3679... que obviamente não é igual a 1. Se substituirmos o número de Euler e por 2, teremos um resultado diferente, o que significa que poderemos encontrar o limite que desejarmos ter, logo este limite é indeterminado. Assim, quando x tende a 0 e Lim f(x) = 0 = Lim g(x), o limite Lim f(x)g(x) = ??? e nem mesmo podemos afirmar que 0o possa ser igual a 1. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000.
(f ser analítica) em torno do ponto onde se calcula o limite, fica claro que quando esta propriedade é satisfeita nas vizinhanças deste ponto, então quase sempre é possível garantir que 0o=1. Sem esta propriedade nada podemos afirmar. O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=e-1/x se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de em torno de x=0) e g(x)=x. Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas: Lim f(x)g(x) = Lim {e-1/x}x=1/e = 0,3679... que obviamente não é igual a 1. Se substituirmos o número de Euler e por 2, teremos um resultado diferente, o que significa que poderemos encontrar o limite que desejarmos ter, logo este limite é indeterminado. Assim, quando x tende a 0 e Lim f(x) = 0 = Lim g(x), o limite Lim f(x)g(x) = ??? e nem mesmo podemos afirmar que 0o possa ser igual a 1. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000.
O fato citado acima pode ser observado se tomarmos a função definida por f(x)=e-1/x se x>0 e f(x)=0 se x<0. (que não tem desenvolvimento em série de em torno de x=0) e g(x)=x. Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas: Lim f(x)g(x) = Lim {e-1/x}x=1/e = 0,3679... que obviamente não é igual a 1. Se substituirmos o número de Euler e por 2, teremos um resultado diferente, o que significa que poderemos encontrar o limite que desejarmos ter, logo este limite é indeterminado. Assim, quando x tende a 0 e Lim f(x) = 0 = Lim g(x), o limite Lim f(x)g(x) = ??? e nem mesmo podemos afirmar que 0o possa ser igual a 1. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000.
em torno de x=0) e g(x)=x. Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas: Lim f(x)g(x) = Lim {e-1/x}x=1/e = 0,3679... que obviamente não é igual a 1. Se substituirmos o número de Euler e por 2, teremos um resultado diferente, o que significa que poderemos encontrar o limite que desejarmos ter, logo este limite é indeterminado. Assim, quando x tende a 0 e Lim f(x) = 0 = Lim g(x), o limite Lim f(x)g(x) = ??? e nem mesmo podemos afirmar que 0o possa ser igual a 1. Página construída por Ulysses Sodré Atualizada em: October 14, 2000.
Lim f(x)=0 e Lim g(x)=0 quando x tende a 0, mas:
que obviamente não é igual a 1.
Se substituirmos o número de Euler e por 2, teremos um resultado diferente, o que significa que poderemos encontrar o limite que desejarmos ter, logo este limite é indeterminado.
Assim, quando x tende a 0 e Lim f(x) = 0 = Lim g(x), o limite
e nem mesmo podemos afirmar que 0o possa ser igual a 1.