Matematica Essencial: Matematica Financeira - Sistemas de Amortizacao

Matemática
Essencial
Matemática Financeira
Sistemas de Amortização

Introdução à amortização

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os:

Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!

Os principais sistemas de amortização são:

  1. Sistema de Pagamento único
    Conceito: Um único pagamento no final.
  2. Sistema de Pagamentos variáveis
    Conceito: Vários pagamentos diferenciados.
  3. Sistema Americano
    Conceito: Pagamento no final com juros calculados período a período.
  4. Sistema de Amortização Constante (SAC)
    Conceito: A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
  5. Sistema Price ou Francês (PRICE)
    Conceito: Os pagamentos (prestações) são iguais.
  6. Sistema de Amortização Misto (SAM)
    Conceito: Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.
  7. Sistema Alemão
    Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.

Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento será a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:

Pagamento = Amortização + Juros

Nas nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%.

Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados:

Sistema de Amortização
nJurosAmortização do
Saldo devedor
PagamentoSaldo devedor
0    300.000,00
1     
2     
3     
4     
5    0
Totais 300.000,00   


Sistema de Pagamento Único

Conceito: O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula:

M = C.(1+i)n

Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.

Sistema de Pagamento Único
nJurosAmortização do
Saldo devedor
PagamentoSaldo devedor
0000 300.000,00
112.000,00   312.000,00
212.480,00   324.480,00
312.979,20   337.459,20
413.498,37   350.957,57
514.038,30300.000,00 364.995,870
Totais64.995,87300.000,00 364.995,87 


Sistema de Pagamentos Variáveis

Conceito: O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.

Uso: Cartões de crédito.
Combinação: Foi acertado que o devedor pagará a dívida da forma:

Sistema de Pagamentos Variáveis
nJurosAmortização do
Saldo devedor
PagamentoSaldo devedor
0000 300.000,00
112.000,0030.000,0042.000,00 270.000,00
210.800,0045.000,0055.800,00 225.000,00
39.000,0060.000,0069.000,00 165.000,00
46.600,0075.000,0081.600,00 90.000,00
53.600,0090.000,0093.600,00 0
Totais42.000,00300.000,00 342.000,00 


Sistema Americano

Conceito: O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período.

Sistema Americano
nJurosAmortização do
Saldo devedor
PagamentoSaldo devedor
0000300.000,00
112.000,00 12.000,00 300.000,00
212.000,00 12.000,00 300.000,00
312.000,00 12.000,00 300.000,00
412.000,00 12.000,00 300.000,00
512.000,00300.000,00312.000,00 0
Totais 60.000,00300.000,00360.000,00 


Sistema de Amortização Constante (SAC)

Conceito: O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.

Uso: Sistema Financeiro da Habitação

Sistema de Amortização Constante (SAC)
nJurosAmortização do
Saldo devedor
PagamentoSaldo devedor
0000 300.000,00
112.000,0060.000,0072.000,00 240.000,00
29.600,0060.000,0069.600,00 180.000,00
37.200,0060.000,0067.200,00 120.000,00
44.800,0060.000,0064.800,00 60.000,00
52.400,0060.000,0062.400,00 0
Totais 36.000,00300.000,00336.000,00 


Sistema Price (Sistema Francês)

Conceito: Todas as prestações (pagamentos) são iguais.

Uso: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Cálculo: O cálculo da prestação Prest é o produto do valor financiado VFin=300.000,00 pelo coeficiente Coef obtido na fórmula

Coef = [i.(1+i)n]÷[(1+i)n-1]

onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece:

Prest = Coef × VFin = 67.388,13

Sistema Price (ou Sistema Francês)
nJurosAmortização do
Saldo devedor
PagamentoSaldo devedor
0000 300.000,00
112.000,0055.388,1367.388,13 244.611,87
29.784,4757.603,6667.388,13 187.008,21
37.480,3259.907,8167.388,13 127.100,40
45.084,0162.304,1267.388,13 64.796,28
52.591,8564.796,2867.388,13 0
Totais 36.940,65300.000,00336.940,65 


Sistema de Amortização Misto (SAM)

Conceito: Cada prestação (pagamento médio) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).

Uso: Alguns financiamentos do Sistema Financeiro.

Cálculo:

PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

nPSAC PPrice PSAM
172.000,0067.388,1369.694,06
269.600,0067.388,1368.494,07
367.200,0067.388,1367.294,07
464.800,0067.388,1366.094,07
562.400,0067.388,1364.894,07

Sistema de Amortização Misto (SAM)
nJurosAmortização do
Saldo devedor
PagamentoSaldo devedor
0000 300.000,00
112.000,0057.694,0669.694,06 242.305,94
29.692,2458.801,8368.494,07 183.504,11
37.340,1659.953,9167.294,07 123.550,20
44.942,0161.152,0666.094,17 62.398,14
52.495,9362.398,1464.894,07 0
Totais 36.470,34300.000,00336.470,94 


Sistema Alemão

Conceito: O sistema Alemão consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações Ak, k=1,2,3,...,n.

Uso: Alguns financiamentos.

Cálculos:

P = [C.i] ÷ [1-(1-i)n]
A1 = [C.i.(1-i)n-1] ÷ [1-(1-i)n]
Ak = A1 ÷ [(1-i)k-1](k=1,2,...,n)

Para esta tabela, a prestação mensal do financiamento é dada por:

P = [300.000 × 0,04] ÷ [1-(1-0,04)5]=64.995,80
A1 = [300.000×0,04×(1-0,04)5-1] ÷ [1-(1-0,04)5]=55.203,96
A2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13
A3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13
A4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97
A5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80

Sistema Alemão
nJurosAmortização do
Saldo devedor
PagamentoSaldo devedor
012.000,00012.000,00 300.000,00
19.791,8455.203,9664.995,80 244.796,04
27.491,6857.504,1364.995,80 187.291,91
35.095,6759.900,1364.995,80 127.391,78
42.599,8362.395,9764.995,80 64.995,80
5 64.995,8064.995,80 0
Totais 36.979,02300.000,00336.979,02 


Página construída por Ulysses Sodré
Última atualização: April 14, 2001 19:19:02