Projeto MatWeb(203b): Logaritmos

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Ensino Médio (203b)
Logaritmos


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Use a nossa Tábua moderna de logaritmos para seus cálculos

A hipérbole equilátera

Consideremos a função real f(x) = 1/x definida para todo x não nulo. O gráfico desta função representa a curva plana chamada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante. Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, ...


Interpretação geométrica

O logaritmo natural de u, denotado por Ln(u), pode ser definido geometricamente, como sendo a área da região plana localizada abaixo do gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, o que pode ser visto no desenho colorido de vermelho. A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u).


Definição de Logaritmo

Em função do desenho acima, utilizaremos aqui a definição:

Ln(u) = área(1,u)


Característica muito especial

Quando u>1, a região possui uma área bem definida, mas se tomarmos u=1, a nossa região se reduzirá a apenas uma linha (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso Ln(1)=área(1,1). Assim:

Ln(1) = 0

Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que ela é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.


Propriedades gerais

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:


Algumas simplificações matemáticas

As propriedades dos Logaritmos são usadas para simplificar expressões matemáticas, como podemos ver pelos exemplos:

Exercício: Qual dos dois números é o menor: 2 Ln(3) ou 3 Ln(2)? Observa-se que:

2 Ln(3) = Ln(32) = Ln(9)
3 Ln(2) = Ln(23) = Ln(8)

e como a função Ln é crescente, então:

3 Ln(2) = Ln(8) < Ln(9) = 2 Ln(3)


O número e de Euler

Existe um importantíssimo número real e=2,71828... (atribuído a Euler) tal que

Ln(e) = 1


Base para um logaritmo

A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:

Ln(u) = Loge(u)

que se lê "logaritmo do número real u na base e".


Mudança de base

Tendo em vista a escrita acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo ambas devem ser diferentes de 1.

LogA(B) = Ln(B) / Ln(A)


Logaritmo decimal

Por exemplo, no âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração. Observamos que em contextos mais avançados, a base decimal não é muito útil. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:

y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10.


Logaritmos de algumas

de 10

Nesta base 10, temos algumas características interessantes:

Log 1 = 0Log 0 não existe
Log(10) = Log(101) = 1 Log(1/10) = Log(10-1) = -1
Log(100) = Log(102) = 2 Log(1/100) = Log(10-2) = -2
Log(1000) = Log(103) = 3 Log(1/1000) = Log(10-3) = -3
Log(10000) = Log(104 = 4 Log(1/10000) = Log(10-4) = -4
Log(10n) = n Log(10-n)= -n

A partir da propriedade

Log 10n = n

temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:

Log(10x) = x


Definição estranha de logaritmo

A última expressão mostrada acima é verdadeira e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é:

Logb(x) = e <=> x = be

Em livros elementares, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma determinada base, o que é estranho pois tal definição fica como algo cíclico:


Cálculos de logaritmos de alguns números

Com esta definição é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y = Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim

0 < Log(2) < 1

É interessante obter dois números que sejam

de 2 e que estejam muito próximos de

de 10.

Por exemplo,

1000<1024=210
e
8192=213<10000,
logo:
1000 < 1024 < 8192 <10000

assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:

3 < 10 Log(2) < 13 Log(2) < 4
então
0,300=3/10 < Log(2) < 4/13=0,308

e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, o que já é uma boa estimativa para Log(2), isto é:

Log(2) = 0,304

O ideal é encontrar outras

de 10 que estejam próximas de

de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais

:

Intervalo Valores Média
1 < 2 <10 0 < Log(2) < 1 0,500
1<22<10 0 < Log(2) < 1/2 0,250
10<24<102 1/4 < Log(2) < 2/4 0,375
10<25<102 1/5 < Log(2) < 2/5 0,300
10<26<102 1/6 < Log(2) < 2/6 0,250
102<28<103 2/8 < Log(2) < 3/8 0,313
103<210<104 3/10 < Log(2) < 4/10 0,350
103<211<104 3/11 < Log(2) < 4/11 0,318
103<212<104 3/12 < Log(2) < 4/12 0,292
103<213<104 3/13 < Log(2) < 4/13 0,269
104<214<105 4/14 < Log(2) < 5/14 0,321
104<215<105 4/15 < Log(2) < 5/15 0,300
104<216<105 4/16 < Log(2) < 5/16 0,282
105<217<106 5/17 < Log(2) < 6/17 0,393
105<218<106 5/18 < Log(2) < 6/18 0,306
105<219<106 5/19 < Log(2) < 6/19 0,289
106<220<107 6/20 < Log(2) < 7/20 0,325

Em estudos de Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Log através de uma série de termos e calcular os logaritmos para vários números reais positivos.

Na verdade, Log(2) = 0,3010299956639812... e com este valor, podemos obter os logaritmos de todas as

de 2, como por exemplo:

Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.

Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.

Exemplo: Vamos usar aqui Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477.

Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média entre Log(6) e Log(8), isto é:

Log(7) = 0,840


Característica e mantissa de um logaritmo

Se um número está localizado entre duas

consecutivas de 10, dizemos que o expoente da menor delas é a característica deste logaritmo, enquanto que a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.


log(20) decomposto na característica e mantissa

Tabela ilustrativa com alguns logaritmos
Número Logaritmo Característica Mantissa
2 0,30103
0
0,30103
20 1,30103
1
0,30103
200 2,30103
2
0,30103
2000 3,30103
3
0,30103
0,2 - 1,30103
-1
0,30103
0,02 - 2,30103
-2
0,30103
0,002 - 3,30103
-3
0,30103

Notação: Você deve ter observado que na tabela anterior aparece o sinal negativo apenas para o número que está antes da vírgula. Esta notação foi criada para simplificar operações com logaritmos, visando mostrar que se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser observado na Tábua de logaritmos que aparece no final deste trabalho.

- 3,30103 significa que o número -3 deve ser somado ao número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo antes de 2,69897.


Tábua moderna de logaritmos

Para obter o logaritmo de um número positivo, não se esqueça de colocar o ponto decimal no lugar da vírgula.

Entre com o número aqui:

O logaritmo do número é:

Exercício: Calcular Log(2), Log(20), Log(200) e Log(2000). Observou algo interessante sobre as características e mantissas desses logaritmos?
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Atualizada em: October 05, 2000.