Matematica Essencial - Projeto MatWeb (mod213): Numeros Complexos

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Ensino Médio: mod213
Números Complexos


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Introdução aos números complexos

Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais, a equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por:

x = -7/2

assim, o conjunto solução será:

S= { 7/2 }

no entanto, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

Analogamente, se tentarmos obter o conjunto solução para a equação x2+1=0 sobre o conjunto dos números reais, teremos como resposta o conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:

x =

onde é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato de substituir pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos.


Definição de número complexo

Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

z = a + b i

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z)  ;   b = Im(z)

Exemplos de tais números são apresentados na tabela.

Número complexo Parte realParte imaginária
2 + 3 i23
2 - 3 i2-3
220
3 i03
-3 i0-3
000

Observação : O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.


Elementos complexos especiais


Operações básicas com números complexos

Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:

z + w = (a + bi ) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
z . w = (a + bi).(c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Observação : Estas operações nos lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx) + (c+dx) = (a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:

a + b x
c + d x         X
ac + bcx
        adx + bdx2
ac +(bc+ad)x + bdx2

de forma que devamos trocar x2 por -1.

Exemplos:


da unidade imaginária

Quando tomamos i = temos uma série de valores muito simples para as

de i:

Potênciai2 i3i4 i5i6 i7i8 i9
Valor-1-i1i -1-i1i

Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.

Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998

Como exemplo:

i402=i400.i2=1.(-1)=-1


Curiosidade sobre a unidade imaginária

Ao pensar um número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b) no plano cartesiano, a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta em um outro número complexo w=-b+ai, que formi um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi dado.

Exercício: Tomar um número complexo z, multiplicar por i para obter z1=i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1. Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então use a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. Após constatar que você é inteligente, faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.


O inverso de um número complexo

Dado um número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) podemos definir o inverso deste número complexo como o número z-1=u+iv, tal que

z . z-1 = 1

O produto de z pelo seu inverso z-1 deve ser igual a 1, isto é:

(a+bi).(u+iv)=(au-bv)+(av+bu)i=1=1+0.i

o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:

a u - b v = 1
b u + a v = 0

Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:

u = a / (a2+b2)
v = -b / (a2+b2)

assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

Exemplo: O inverso do número complexo z=5+12i é

z-1=(5/169) -(12/169)i

Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se :

  1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração

  2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z

  3. Lembrar que i2 = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes.

Observação : Na última igualdade (proporção) o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.


A diferença entre números complexos

A diferença entre os números complexos z=a+bi e z=a+bi é definida como o número complexo obtido pela soma entre z e -w,(isto é:

z - w = z + (-w)

Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i, é:

z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i


A divisão entre números complexos

A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w-1, isto é:

z/w = z . w-1

Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e também o denominador da fração z/w pelo conjugalo de w:


Representação geométrica de um número complexo

Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser repzesentado geometricamente no plano cartesiano, como sendo um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0,0) do sistema.


Módulo de um número complexo

No gráfico anterior podemos observar que existe um triângulo retângulo cuja hipotenusa correspondente à distância entre a origem 0 e o número complexo z, normalmente denotada pela letra grega ro, o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z.

Desse modo, se z = a + b i é um número complexo, então:

e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto é:


Argumento de um número complexo

O ângulo formado entre o segmento OZ e o eixo OX, aqui representado pela letra grega alfa, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações:

Por experiências com programação na Internet, observei que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.


Forma polar de um número complexo

Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos escrever:

e assim temos a forma polar do número complexo z:


Multiplicação de Números complexos na forma polar

Consideremos os números complexos

z = r (cos m + i sen m)
w = s (cos n + i sen n)

onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes números complexos z e w.

Podemos realizar o produto entre estes números da forma usual e depois reescrever este produto na forma:

z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]

Este fato é garantido pelas relações:

cos(m+n)=cos(m).cos(n)-sen(m).sen(n)
sen(m+n)={en(m).cos(n)+sen(n).cos(m)


Potência de um Número complexo na forma polar

Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. Como

z = r [cos(m) + i sen(m)]

então

zk = rk [cos(km) + i sen(km)]

Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é igual à raiz quadrada de 2 e o argumento é igual a 1/4 de pi (45 graus). Para elevar este número à potência 16, basta escrever:

z16 = 28[cos(720o)+isen(720o)]=256


Raiz quarta de um número complexo

Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja um número real negativo, o que significa, resolver uma equação algébrica do 4o. grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16, basta encontrar as quatro raízes da equação algébrica x4+16=0.

Antes de seguir em nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número complexo w, necessitamos antes de tudo, saber o seu módulo r e o seu argumento t, o que significa poder escrever:

w = r (cos t + i sen t)

O primeiro passo é realizar um desenho mostrando es|e número complexo w em um círculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o número complexo w.

O passo seguinte é obter um outro número complexo z1 cujo módulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a primeira das quatro raizes complexas procuradas.

z1=r1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)]

As outras raízes serão:

z2 = i . z1
z3 = i . z2
z4 = i . z3

e todas elas aparecem no gráfico:

Observação: O processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou muito facilitado pois conhecemos a propriedade geométrica que o número complexo i multiplicado por outro número complexo, roda este último de 90 graus e outro fato interessante é que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus. Se os quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em relação ao eixo OX.


Raiz n-ésima de um número complexo

Antes de continuar, apresentaremos a importantíssima relação de Euler:

ei.t = cos t + i sen t

que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2,71828... Para facilitar a escrita usamos frequentemente:

exp(i.t) = cos t + i sen t

Observação: A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo os mais importantes sinais e constantes da Matemática:

Voltemos agora à exp(i.t). Se multiplicarmos o número ei.t por um número complexo z, o resultado será um outro número complexo rodado de t radianos em relação ao número complexo z. Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z por

obteremos um número complexo z1 que forma com z um ângulo pi/8=22,5o, no sentido anti-horário.

Iremos agora resolver a equação xn=w, onde n é um número natural e w é um número complexo dado. Da mesma forma que antes, podemos escrever o número complexo

w = r (cos t + i sen t)

e usar a relação de Euler, para obter:

w = r ei.t

Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo número complexo

z(1) = r1/n ei.t/n

Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por:

z(k) = z(k-1) e2.i.Pi/n

onde k varia de 2 até n.

Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x8=-64, observamos a posição do número complexo w = -64 + 0 i, constatando que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é um ângulo raso (pi radianos = 180 graus).

Aqui a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é pi/8, então z1 pode ser escrita na forma polar:

As outras raízes serão obtidas pela multiplicação do número complexo abaixo, através de qualquer uma das três formas:

ou ainda pela forma simplificada:

Assim:

z(2) = z(1).
z(3) = z(2).
z(4) = z(3).
z(5) = z(4).
z(6) = z(5).
z(7) = z(6).
z(8) = z(7).

Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8 números complexos e ligue todas as raízes consecutivas para obter um octógono regular rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente comparar este método com outros que você conhece e realize exercícios para observar como aconteceu o aprendizado.


Número complexo como matriz

Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

Matriz

e todas as propriedades dos números complexos, podem ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.


Página construída por Ulysses Sodré
Atualizada em: November 18, 2000.