Volume em um cilindro deitado conhecida a altura

Matemática
Essencial
Ensino Superior
Volume em um cilindro deitado
(Teclar Ctrl+End para realizar Cálculos On-line)

Resolução de um problema comum em postos de gasolina ou locais que usam recipientes cilíndricos deitados, que corresponde ao cálculo do volume do líquido contido no cilindro deitado com comprimento igual a L e altura h.

Outro problema interessante que não abordarei é o do cálculo do volume de um tanque cuja seção transversal corresponde a uma elipse em função da altura do líquido presente. Este último modelo matemático está relacionado com o cálculo do volume contido em um tanque de um caminhão. Sugiro aos professores que acessam esta Home Page que proponham como Projeto aos seus alunos de Cálculo, uma vez que são os mesmos procedimentos aqui utilizados que devem conduzir à resposta, porém a curva importante no caso será uma elipse e a mudança de variável dependerá dos parâmetros desta curva.

A solução que aqui apresento tem objetivos didáticos relacionados com a matéria Cálculo Diferencial e Integral, razão pela qual este problema será reduzido ao cálculo da área da região sombreada no círculo, uma vez que para este cilindro a área da seção transversal é sempre a mesma.

Para o cálculo da área, faremos uso do conceito de Integral de uma função real, assunto normalmente ensinado nas primeiras séries de cursos que têm a Matemática como algo importante.

Primeiramente iremos construir a circunferência de raio r com centro no ponto (0, r) e identificaremos esta região sombreada como a região localizada dentro do círculo, acima da reta y=0 e abaixo da reta y=h, onde h é a altura do líquido.

A equação da circunferência será:

x2 + (y-r)2 = r2

A área da região sombreada será dada pela integral definida:

onde

sendo que o domínio desta função x=x(y) é o intervalo [0,2r].

A área poderá ser obtida pela integral:

O cálculo desta integral é complexo para as pessoas que não estão envolvidas com o Cálculo Integral mas nós o apresentaremos aqui pois estamos visando um público maior além de justificar a importância e aplicação prática da Trigonometria e do Cálculo Diferencial e Integral em situações não triviais.

Aquele que estiver interessado em conhecer nossa "calculadora de volumes horizontais!", poderá se dirigir ao final desta página teclando Ctrl+End. Lá você poderá realizar Cálculos On-line.

Outras formas interessantes de abordar este problema é através do uso das Regras Trapezoidal e de Simpson, que fornecem resultados aproximados bastante confiáveis. Estas regras são também outras aplicações do Cálculo Diferencial e Integral.

Calcularemos a integral indefinida, sem a preocupação com a constante de integração, pois quando trabalhamos com a integral definida esta constante se torna dispensável.

Podemos obter a integral através da substituição trigonométrica:

y = r + r sen(u)

Tal substituição está relacionada com o triângulo retângulo tendo hipotenusa com medida igual a r e o cateto oposto ao argumento u, com medida igual a y-r.

Desta forma fica fácil obter o cosseno do argumento u através da relação fundamental da Trigonometria:

cos2u + sen2u = 1

e com esta relação, obtemos:

Como y = r + r sen(u), então dy = r cos(u) du. Substituindo estas informações na integral indefinida, obtemos:

ou seja
Int = (1/2) r2 [u + sen(u).cos(u)]

e voltando às variáveis originais, temos:

Agora podemos apresentar a "fórmula" que fornece a área procurada em função da altura h e do raio r do cilindro, tudo isto obtido em função desta última integral.

O volume de líquido é a multiplicação de A(h) por L, isto é:

Volume = A(h) * L

Este problema envolve uma situação prática que para a sua resolução necessitamos de uma série de assuntos da Matemática, alguns dos quais não ensinados nos dois primeiros níveis iniciais de Ensino, o que valoriza o curso superior e em especial o Cálculo Diferencial e Integral em contextos da vida, mostrando a muitas pessoas porque a Matemática deve também ser estimulada em função de sua utilidade.

Agora vamos ao que interessa a muitas pessoas que é o simples cálculo sem as preocupações matemáticas envolvidas com o assunto.


Cálculo On-line do volume do cilindro deitado

Para obter o cálculo da área sombreada e o volume contido até a altura h neste cilindro com raio r, altura do líquido h e comprimento L, entre com as medidas nas caixas sempre com unidades em cm e clique no botão Calcular. A área será calculada em cm2 mas o volume será em dm3 pois para a água, o volume de 1 dm3 corresponde à capacidade aproximada de 1 litro. Aproveite os valores já digitados para novos cálculos.
Raio     r: cm
Compr L: cm
Altura h: cm
Altura menor ou igual que o dobro do raio
Área: cm2
Volume: dm3
Construído por Ulysses Sodré com Javascript.
[matweb/superior/cilide/inclusao_dasecretaria.htm]