Matematica Essencial: Maximos e Minimos de funcoes
Máximos e Mínimos: Teste da primeira derivada
Roteiro geral Conceitos básicos Teste da primeira derivada
Teste da segunda derivada Médias: Arit-Geom-Harm Aplicações numéricas
Aplicações geométricas Aplicações práticas Derivada Implícita


  1. Uso da primeira derivada para máximos e mínimos

    Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O problema é a dificuldade em construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida.

  2. Ponto crítico de uma função derivável
    Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f '(c)=0.

    Exemplo: f(x)=x2, definida sobre [-1,2], possui x=0 como ponto crítico, pois f '(0)=0.

  3. Teorema (P. Fermat)
    Se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x=c e a função f é derivável neste ponto, então x=c é um ponto crítico, isto é, f '(c)=0.

    Observações:

    1. Pelo teorema, se x=c é um ponto de extremo local para f, a derivada de f se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva y=f(x) no ponto (cf(c)).

    2. Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f, como a função f(x)=x3 def. sobre a reta. x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para f.

    3. Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. A função f(x)=1-x2, def. sobre S=[-1,2] possui três extremos. x=-1 e x=2 são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local, mas f '(-1)=2 e f '(2)=-4.

    Existe um critério que faz uso da primeira derivada para identificar se um ponto localizado no interior do domínio da função, é ponto de extremo (máximo ou mínimo) local para f.

  4. Critério da primeira derivada
    Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.
    1. Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
    2. Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.

    Exemplo: Sejam as funções f(x)=1-x2 e g(x)=x2 def. sobre S=[-1,2]. f '(x)=-2x e g '(x)=2x. O ponto x=0 é ponto crítico para ambas as funções. f '(x)>0 se x<0 e f '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de máximo local para f.  g '(x)<0 se x<0 e g '(x)>0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de mínimo local para g.

    Observações:

    1. Nem todo ponto crítico é ponto de extremo para uma função, como é o caso de f(x)=x3, def. sobre S=[-2,2]. f '(x)=3x2. O ponto crítico é x=0. À esquerda e também à direita de x=0, a derivada é positiva, logo, x=0 não pode ser ponto de máximo local nem ponto de mínimo local para f.

    2. O critério da primeira derivada, pode ser escrito na forma: Se f é uma função derivável sobre um intervalo [a,b] e existe um ponto x=c no intervalo aberto (a,b) para o qual f '(c) é diferente de 0, então este ponto x=c não pode ser ponto de máximo nem de mínimo para f.

  5. Teorema do Valor Máximo (K. Weierstrass)
    Se f é uma função contínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo (e também o seu valor mínimo). Isto é o mesmo que garantir a existência de números reais x1 em [a,b] e x2 em [a,b] tal que para todo x em [a,b]:

    Observações e exemplos:

    1. O critério da primeira derivada e o Teorema do Valor Máximo garantem que para um ponto ser extremo de uma função derivável no intervalo fechado [a,b], tais pontos serão as extremidades x=a e x=b ou os pontos x de (a,b) para os quais f '(x)=0. Tais pontos de extremo nem sempre são detectados com o critério da primeira derivada.

    2. Se a função é contínua mas não é derivável em um ponto x=c, podemos estudar o extremo da função neste ponto onde não existe a derivada de f, pois ocorre a formação de um "bico" no gráfico de f ou existe uma tangente vertical ao gráfico de f neste ponto.
      Exemplo: f(x)=|x| def. sobre S=[-2,3] possui um ponto crítico em x=0, que é um ponto de S em que não existe a derivada de f.

    3. f(x)=sen(x) def. sobre [-pi, pi], possui máximo em x=-pi e x=pi/2 e mínimo em x=-pi/2 e x=pi.

    4. f(x)=1/x def. sobre S=(0,1], tem um ponto de mínimo em x=1, mas sobre S não tem ponto de máximo.

    5. g(x)=-1/x def. sobre S=(0,1], tem um ponto de máximo em x=1, mas sobre S não tem ponto de mínimo.

    6. f(x)=x+1/x def. sobre S=[-1,1] com f(0)=0, não possui derivada em x=0, seus pontos críticos são x=-1 (ponto de máximo) e x=1 (ponto de mínimo).

    7. f(x)=x+1/x def. sobre S=[-3,3] com f(0)=0, não possui derivada em x=0, seus pontos críticos são x=-1 e x=1. x=3 é um ponto de máximo e x=-3 é um ponto de mínimo.

  6. Teorema de localização
    Se f é uma função contínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo (ou mínimo):
    1. Nas extremidades do intervalo [a,b], ou
    2. Em pontos críticos de f, ou
    3. Em pontos onde a derivada de f não existe.


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