Matematica Essencial: Maximos e Minimos de funcoes
Máximos e Mínimos: Teste da segunda derivada
Roteiro geral Conceitos básicos Teste da primeira derivada
Teste da segunda derivada Médias: Arit-Geom-Harm Aplicações numéricas
Aplicações geométricas Aplicações práticas Derivada Implícita

  1. Uso da segunda derivada para máximos e mínimos

    Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f ' seja uma função contínua e vamos supor que f possui um ponto crítico x=c em S, isto é, f '(c)=0.

    1. Se f "(c)<0 então x=c é um ponto de máximo para a função f.
    2. Se f "(c)>0 então x=c é um ponto de mínimo para a função f.
    Exemplo: As funções f(x)=1-x2 e g(x)=x2, def. sobre S=[-1,2] possuem pontos críticos em x=0. f "(0)=-2<0 e g "(0)=2>0. Pelo critério da segunda derivada, x=0 é ponto de máximo local para f e ponto de mínimo local para g.


    Às vezes, várias derivadas sucessivas da função se anulam no ponto crítico, assim o critério acima, necessita ser ampliado.

  2. Uso da n-ésima derivada para máximos e mínimos

    Seja f uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S, vamos admitir que f possui um ponto crítico c em S, isto é, f '(c)=0 e que:

    Assim:

    1. Se n é par e f (n)(c)<0, x=c é ponto de máximo local para a função f.
    2. Se n é par e f (n)(c)>0, x=c é ponto de mínimo local para a função f.
    3. Se n é ímpar e f (n)(c) é diferente de zero, x=c não é ponto de mínimo para f, nem ponto de máximo para f. Este ponto x=c recebe o nome de ponto de inflexão horizontal para a função f.

    Exemplos:
    1. Para f(x)=x4 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é ponto de mínimo local, pois:


    2. Para f(x)=x5 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é um ponto de inflexão horizontal, pois:


    3. Para f(x)=-x6 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é um ponto de máximo local, pois:

  3. Ponto de inflexão horizontal

    Um ponto de inflexão horizontal, para uma função f que tem as duas primeiras derivadas contínuas e está definida sobre um conjunto S, é um ponto x=c em S tal que à esquerda dele a concavidade (boca) do gráfico de f está voltada para cima e à direita de x=c a concavidade da curva (boca) está voltada para baixo. A situação ainda ocorrerá se trocarmos as palavras: "para baixo" e "para cima".


    A palavra horizontal significa que passando uma reta horizontal pelo ponto de coordenadas (c,f(c)), a parte do gráfico localizada à direita de x=c fica de um lado da reta e a parte da curva localizada à esquerda de x=c fica do outro lado da reta.

  4. Concavidade

    Podemos analisar a concavidade do gráfico de uma função f que tem as duas primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S. Usando a segunda derivada, teremos as situações abaixo:

    1. Se f "(x)>0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para cima nas vizinhanças de x.
    2. Se f "(x)<0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para baixo nas vizinhanças de x.


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